Fluxo em um Meio Poroso. Considere o fluxo de água em um meio poroso, como areia, em um reservatório subterrâneo de água (como a água que flui para uma fonte ou um poço). O fluxo é impulsionado pela queda hidráulica, uma medida da energia potencial da água acima do reservatório. Seja
:
uma seção vertical de um reservatório. Em um meio uniforme homogêneo, a queda hidráulica
satisfaz a equação de Laplace
Se a água não pode passar pelos lados nem pelo fundo de
, então as condições de contorno são
Finalmente, suponha que a condição de contorno em
é
onde
é a inclinação do leito de água.
(a) Resolva o problema de valores de contorno dado para
.
(b) Sejam
e
. Desenhe curvas de nível para a solução em
, isto é, desenhe algumas curvas de nível de
.
(c) A água flui ao longo de caminhos em
que são ortogonais às curvas de nível de
no sentido em que
diminui. Desenhe alguns dos caminhos do fluxo.
(a) Resolva o problema de valores de contorno dado para
(b) Sejam
(c) A água flui ao longo de caminhos em
Passo 1
O enunciado trata do fluxo de água num meio poroso modelado por um potencial hidráulico
sobre o retângulo
que satisfaz a equação de Laplace
com condições de contorno Neumann em
e em
, e Dirichlet em
:
O que vamos usar é o método de separação de variáveis combinado com expansão em séries de cossenos (que automaticamente satisfazem as condições Neumann em
e
) e abordaremos cada parte do problema: (a) construir a solução em série; (b) para
,
,
, esboçar algumas curvas de nível; (c) traçar as linhas de fluxo, que são ortogonais às curvas de nível.
Passo 2
Para satisfazer Neumann em
introduzimos a expansão
Como
satisfaz Laplace, cada modo satisfaz
e a condição
impõe
. A solução geral é
onde escolhemos a normalização de modo que, ao impor
, tenhamos
Passo 3
Para ajustar à condição de contorno no topo,
reconhecemos aí a série de cossenos de
em
. O termo constante é
Para
,
Passo 4
Fazendo a integral por partes verifica-se
Logo
que só é não-nulo para
ímpar, e então
. Assim para
,
e
.
Passo 5
Concluímos que a solução exata é
Passo 6
(b) Para
,
,
podemos aproximar truncando só o primeiro termo (
):
Numericamente
e
, logo
As curvas de nível
ficam quase retas e inclinadas no topo (pois
), e vão ficando mais horizontais à medida que descem, por causa do fator
que decai para
.
(c) As linhas de fluxo são ortogonais às curvas de nível e obedecem à ODE
No caso aproximado de um único termo,
Integrando numericamente essa equação para várias condições iniciais em
traça-se o feixe de linhas que vão cair em direções curvas dentro de
, sempre com inclinação variável, mas começando quase vertical próximo ao topo e curveando em direção à base.
Resposta
(a)
(b) Para
,
,
, um bom esboço de algumas curvas de nível
constante mostra retas levemente inclinadas no topo que se aclaram para horizontais ao descer.
(c) As linhas de fluxo satisfazem
sendo ortogonais aos contornos de nível e curvando-se do topo para a base, conforme o gradiente de
.