Fluxo em um Meio Poroso. Considere o fluxo de água em um meio poroso, como areia, em um reservatório subterrâneo de água (como a água que flui para uma fonte ou um poço). O fluxo é impulsionado pela queda hidráulica, uma medida da energia potencial da água acima do reservatório. Seja R : 0<x<a, 0<z<b uma seção vertical de um reservatório. Em um meio uniforme homogêneo, a queda hidráulica u(x, z) satisfaz a equação de Laplace
ux x+uz z=0 em R
Se a água não pode passar pelos lados nem pelo fundo de R, então as condições de contorno são
ux(0, z)=0, ux(a, z)=0, 0 <= z <= b uz(x, 0)=0, 0 <= x <= a
Finalmente, suponha que a condição de contorno em z=b é
u(x, b)=b+alpha x, 0 <= x <= a,
onde alpha é a inclinação do leito de água.
(a) Resolva o problema de valores de contorno dado para u(x, z).
(b) Sejam a=1000, b=500 e alpha=0,1. Desenhe curvas de nível para a solução em R, isto é, desenhe algumas curvas de nível de u(x, z).
(c) A água flui ao longo de caminhos em R que são ortogonais às curvas de nível de u(x, z) no sentido em que u diminui. Desenhe alguns dos caminhos do fluxo.

Passo 1

O enunciado trata do fluxo de água num meio poroso modelado por um potencial hidráulico u(x,z) sobre o retângulo
R=(x,z)mid 0<x<a,;0<z<b
que satisfaz a equação de Laplace
uxx+uzz=0
com condições de contorno Neumann em x=0,a e em z=0, e Dirichlet em z=b:
ux(0,z)=0, ux(a,z)=0, uz(x,0)=0, u(x,b)=b+alpha x
O que vamos usar é o método de separação de variáveis combinado com expansão em séries de cossenos (que automaticamente satisfazem as condições Neumann em x=0 e x=a) e abordaremos cada parte do problema: (a) construir a solução em série; (b) para a=1000, b=500, alpha=0,1, esboçar algumas curvas de nível; (c) traçar as linhas de fluxo, que são ortogonais às curvas de nível.

Passo 2

Para satisfazer Neumann em x=0,a introduzimos a expansão
u(x,z) = A0(z) + sumn=1^inftyAn(z),cos!l(tfracnpi xar)
Como u satisfaz Laplace, cada modo satisfaz
An''(z)-l(tfracnpiar)^2An(z)=0
e a condição uz(x,0)=0 impõe An'(0)=0. A solução geral é
An(z) = Cncosh!l(tfracnpi zar),
onde escolhemos a normalização de modo que, ao impor u(x,b)=b+alpha x, tenhamos
u(x,z) = C0 + sumn=1^infty Cncosh!l(tfracnpi zar) cosh!l(tfracnpi bar) cos!l(tfracnpi xar)

Passo 3

Para ajustar à condição de contorno no topo,
u(x,b) = b+alpha x = C0 + sumn=1^infty Cn cos!l(tfracnpi xar),
reconhecemos aí a série de cossenos de b+alpha x em [0,a]. O termo constante é
C0 =1aintegral0^al(b+alpha xr),dx = b + alpha a2
Para n>=1,
Cn =2aintegral0^al(b+alpha x - C0r)cos!l(tfracnpi xar),dx =2alphaa integral0^al(x-a2r)cos!l(tfracnpi xar),dx

Passo 4

Fazendo a integral por partes verifica-se
integral0^al(x-a2r)cos!l(tfracnpi xar),dx =a^2n^2pi^2l[(-1)^n-1r]
Logo
Cn = 2alphaan^2pi^2l[(-1)^n-1r],
que só é não-nulo para n ímpar, e então (-1)^n-1=-2. Assim para n=2k+1,
C2k+1 =-4alpha a(2k+1)^2pi^2,
e C2k=0.

Passo 5

Concluímos que a solução exata é
u(x,z) = b + alpha a2 - 4alpha api^2 sumk=0^infty 1(2k+1)^2 , cosh!l(tfrac(2k+1)pi zar) cosh!l(tfrac(2k+1)pi bar) cos!l(tfrac(2k+1)pi xar)

Passo 6

(b) Para ,a=1000, b=500, alpha=0,1 podemos aproximar truncando só o primeiro termo ( k=0):
u(x,z)approx 500+50 - 4cdot0.1cdot1000pi^2 cosh!l(tfracpi z1000r) cosh!l(tfracpicdot5001000r) cos!l(tfracpi x1000r)
Numericamente 4alpha a/pi^2approx40.5 e cosh(pi/2)approx2.51, logo
u(x,z)approx 550 - 16,2;cosh(0,00314,z),cos(0,00314,x)
As curvas de nível u=const ficam quase retas e inclinadas no topo (pois u(x,500)=500+0,1x), e vão ficando mais horizontais à medida que descem, por causa do fator cosh(pi z/1000) que decai para z=0.
(c) As linhas de fluxo são ortogonais às curvas de nível e obedecem à ODE
dzdx =uzux
No caso aproximado de um único termo,
ux=;0,1+16,2;cosh(0,00314,z)2,51;pi1000,sin(0,00314,x), uz=-16,2;sinh(0,00314,z)2,51;pi1000,cos(0,00314,x)
Integrando numericamente essa equação para várias condições iniciais em z=b traça-se o feixe de linhas que vão cair em direções curvas dentro de R, sempre com inclinação variável, mas começando quase vertical próximo ao topo e curveando em direção à base.

Resposta

(a)
u(x,z) = b + alpha a2 - 4alpha api^2 sumk=0^infty 1(2k+1)^2 , cosh!l(tfrac(2k+1)pi zar) cosh!l(tfrac(2k+1)pi bar) cos!l(tfrac(2k+1)pi xar)
(b) Para a=1000, b=500, alpha=0,1, um bom esboço de algumas curvas de nível u= constante mostra retas levemente inclinadas no topo que se aclaram para horizontais ao descer.
(c) As linhas de fluxo satisfazem
dzdx=uzux,
sendo ortogonais aos contornos de nível e curvando-se do topo para a base, conforme o gradiente de u.

Exercícios relacionados