Encontre a solução geral para a equação diferencial dada (Use: coeficientes a determinar).
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Este é um caso de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não‐homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em obter primeiro a solução da parte homogênea e depois achar uma solução particular.
Passo 2
Resolvendo a equação homogênea associada
assumimos
, o que leva à equação característica
Logo a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte não-homogênea
, normalmente tentaríamos
, mas isso coincide com a solução homogênea (resonância). Então multiplicamos por
e escolhemos o ansatz
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo em
temos
Queremos que isso seja igual a
. Comparando coeficientes de
e
:
Portanto
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular:
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.