Encontre a solução geral para a equação diferencial dada (Use: coeficientes a determinar).
y^prime prime+y=2 sen x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + y = 2sin x
Este é um caso de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não‐homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em obter primeiro a solução da parte homogênea e depois achar uma solução particular.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada
y'' + y = 0
assumimos y=e^rx, o que leva à equação característica
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i
Logo a solução geral da parte homogênea é
yh(x) = Acos x + Bsin x,
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte não-homogênea 2sin x, normalmente tentaríamos
;Ccos x + Dsin x, mas isso coincide com a solução homogênea (resonância). Então multiplicamos por x e escolhemos o ansatz
yp(x) = xl(Ccos x + Dsin xr)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp:
yp' = Ccos x - Cxsin x + Dsin x + Dxcos x,
yp'' = -2Csin x - Cxcos x + 2Dcos x - Dxsin x
Substituindo em y''+y temos
yp'' + yp = l(-2Csin x - Cxcos x + 2Dcos x - Dxsin xr) + l(Cxcos x + Dxsin xr) = -2Csin x + 2Dcos x
Queremos que isso seja igual a 2sin x. Comparando coeficientes de sin x e cos x:
-2C = 2 Longrightarrow C = -1, 2D = 0 Longrightarrow D = 0
Portanto
yp(x) = -,xcos x

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = Acos x + Bsin x - xcos x

Resposta

y(x) = Acos x + Bsin x - xcos x,
onde A e B são constantes arbitrárias.

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