Calcule as seguintes integrais, invertendo a ordem de integração:
integral0^1 integralarcsin y^pi / 2 cos x raiz1+cos ^2 x d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral0^1 integralarcsin y^pi/2 cos x ,raiz1+cos^2x;dx;dy
e pede que a calculemos invertendo a ordem de integração. O conteúdo aqui é mudança de ordem em integrais duplas e, depois, uso de substituição para avaliar a integral simples resultante.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração
D = (x,y)mid 0<= y<=1, arcsin y<= x<=pi/2
A condição x>=arcsin y é equivalente a y<=sin x. Como y já varia de 0 a 1 e sin x<=1 exige 0<= x<=pi/2, temos a descrição invertida
D = (x,y)mid 0<= x<=pi/2, 0<= y<=sin x

Passo 3

Trocar a ordem na integral dá
integral0^1!integralarcsin y^pi/2cos x,raiz1+cos^2x;dx;dy =integral0^pi/2!integral0^sin xcos x,raiz1+cos^2x;dy;dx
Como a função não depende de y, a integral interna é simplesmente integral0^sin xdy=sin x. Logo ficamos com
integral0^pi/2sin x,cos x,raiz1+cos^2x;dx

Passo 4

Para avaliar
integral0^pi/2sin x,cos x,raiz1+cos^2x;dx
fazemos a substituição
u=1+cos^2x, du=-2cos x,sin x,dx
e portanto sin x,cos x,dx=-tfrac12du. Quando x=0 temos u=1+1=2, e quando x=pi/2 temos u=1+0=1. Assim
integral0^pi/2sin x,cos x,raiz1+cos^2x;dx =-tfrac12integral2^1u^1/2,du =tfrac12integral1^2u^1/2,du =tfrac12l[tfrac23u^3/2r]1^2 =tfrac13l(2^3/2-1r)

Resposta

13l(2raiz2-1r)

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