Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
(pois
), encontrando a solução geral e analisando o comportamento de
quando
. Vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Para equações da forma
, o fator integrante é
. Aqui
, então
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original por
, obtendo
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Para calcular
usamos integração por partes, com
,
, obtendo
Passo 6
Logo
onde
Passo 7
Para estudar
, note que
e
. Portanto, todas as soluções divergem e crescem linearmente em
.
Resposta
A solução geral é
e, quando
,
, pois o termo linear domina e o termo exponencial decai.