Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quanto t longrightarrow infty.
y^prime+y=5(2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem y'+y=10t (pois 5(2t)=10t), encontrando a solução geral e analisando o comportamento de y(t) quando ttoinfty. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para equações da forma y'+p(t)y=q(t), o fator integrante é mu(t)=e^integral p(t),dt. Aqui p(t)=1, então
mu(t)=e^integral1,dt=e^t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por e^t, obtendo
e^t y' + e^t y = (y e^t)' = 10t,e^t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
y e^t = integral 10t,e^t,dt

Passo 5

Para calcular integral 10t,e^t,dt usamos integração por partes, com u=10t, dv=e^t dt, obtendo
integral 10t,e^t dt = 10t e^t - 10integral e^t dt = 10t e^t - 10e^t + K

Passo 6

Logo
y e^t = 10t e^t - 10e^t + C,
onde C é constante geral. Dividindo por e^t vem
y(t) = 10t - 10 + Ce^-t

Passo 7

Para estudar ttoinfty, note que Ce^-tto0 e 10t-10to+infty. Portanto, todas as soluções divergem e crescem linearmente em t.

Resposta

A solução geral é y(t)=Ce^-t+10t-10 e, quando ttoinfty, y(t)to+infty, pois o termo linear domina e o termo exponencial decai.

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