Este problema é uma continuação do Problema 3-7.
(a) Se n-k é par, e >= 0, encontre uma função polinomial de grau n com exatamente k raízes.
(b) Uma raiz a da função polinomial f é dita ter multiplicidade m se f(x)=(x-a)^m g(x), onde g é uma função polinomial que não tem a como raiz. Seja f uma função polinomial de grau n. Suponha que f tem k raízes, contando multiplicidades, i.e., suponha que k é a soma das multiplicidades de todas as raízes. Mostre que n-k é par.

Passo 1

Estamos lidando com polinômios reais de grau n e queremos relacionar número de raízes reais, raízes complexas e multiplicidades. Vamos usar o Teorema Fundamental da Álgebra e o fato de que raízes não-reais de polinômios com coeficientes reais vêm em pares conjugados.

Passo 2

Como n-k é par e >=0, temos (n-k)/2inN. Para construir um polinômio de grau n com exatamente k raízes reais (todas de multiplicidade 1), escolhemos k reais distintos a1,dots,ak e definimos
f(x)=prodi=1^k(x-ai),l(x^2+1r)^n-k2

Passo 3

O grau de f é k+2cdottfracn-k2=n. As únicas raízes reais são a1,dots,ak, pois x^2+1 não tem zeros em R.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio real de grau n tem n raízes no corpo C, contando multiplicidades. As raízes não-reais vêm em pares conjugados, logo o número de raízes não-reais é par.

Passo 5

Seja k a soma das multiplicidades das raízes reais. Então o total de raízes não-reais é n-k, que deve ser par. Portanto n-k é par.

Resposta

(a) f(x)=prodi=1^k(x-ai),(x^2+1)^n-k2, com aiinR distintos. (b) Como as raízes não-reais de um polinômio real ocorrem em pares conjugados, o número n-k de raízes não-reais tem que ser par.

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