Este problema é uma continuação do Problema 3-7.
(a) Se
é par, e
, encontre uma função polinomial de grau
com exatamente
raízes.
(b) Uma raiz
da função polinomial
é dita ter multiplicidade
se
, onde
é uma função polinomial que não tem
como raiz. Seja
uma função polinomial de grau
. Suponha que
tem
raízes, contando multiplicidades, i.e., suponha que
é a soma das multiplicidades de todas as raízes. Mostre que
é par.
(a) Se
(b) Uma raiz
Passo 1
Estamos lidando com polinômios reais de grau
e queremos relacionar número de raízes reais, raízes complexas e multiplicidades. Vamos usar o Teorema Fundamental da Álgebra e o fato de que raízes não-reais de polinômios com coeficientes reais vêm em pares conjugados.
Passo 2
Como
é par e
, temos
. Para construir um polinômio de grau
com exatamente
raízes reais (todas de multiplicidade 1), escolhemos
reais distintos
e definimos
Passo 3
O grau de
é
. As únicas raízes reais são
, pois
não tem zeros em
.
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, um polinômio real de grau
tem
raízes no corpo
, contando multiplicidades. As raízes não-reais vêm em pares conjugados, logo o número de raízes não-reais é par.
Passo 5
Seja
a soma das multiplicidades das raízes reais. Então o total de raízes não-reais é
, que deve ser par. Portanto
é par.
Resposta
(a)
, com
distintos. (b) Como as raízes não-reais de um polinômio real ocorrem em pares conjugados, o número
de raízes não-reais tem que ser par.