Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+2 y^prime+y=2 e^n-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 2e^t - t
O conteúdo é o método de equações lineares com termo não-homogêneo usando coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular para o termo 2e^t - t.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y'' + 2y' + y = 0
Montamos a equação característica
r^2 + 2r + 1 = 0 implies (r + 1)^2 = 0
As raízes são reais iguais r = -1 (multiplicidade 2). Logo a solução geral fundamental homogênea é
yh(t) = C1 e^-t + C2 t e^-t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp(t) para o termo não-homogêneo 2e^t - t usando o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é soma de uma exponencial e^t e de um polinômio de grau 1, assumimos:
yp(t) = A e^t + B t + C

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(t) = A e^t + B
yp''(t) = A e^t
Substituímos na equação diferencial:
yp'' + 2yp' + yp = A e^t + 2(A e^t + B) + (A e^t + B t + C)
Agrupando termos:
= (A + 2A + A)e^t + B t + (2B + C)
= 4A e^t + B t + (2B + C)
Isso deve ser igual a 2e^t - t, logo comparamos coeficientes:

Passo 5

Igualando coeficientes de e^t, t e termo constante:
Para e^t:
4A = 2 implies A = tfrac12
Para t:
B = -1
Para termo constante:
2B + C = 0 implies 2(-1) + C = 0 implies C = 2
Assim a solução particular é
yp(t) = tfrac12 e^t - t + 2

Passo 6

A solução geral da equação é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^-t + C2 t e^-t + tfrac12 e^t - t + 2

Resposta

y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 t e^{-t} + \tfrac12 e^t - t + 2

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