Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é o método de equações lineares com termo não-homogêneo usando coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular para o termo
.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
Montamos a equação característica
As raízes são reais iguais
(multiplicidade 2). Logo a solução geral fundamental homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo não-homogêneo
usando o método dos coeficientes a determinar. Como o lado direito é soma de uma exponencial
e de um polinômio de grau 1, assumimos:
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação diferencial:
Agrupando termos:
Isso deve ser igual a
, logo comparamos coeficientes:
Passo 5
Igualando coeficientes de
,
e termo constante:
Para
:
Para
:
Para termo constante:
Assim a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação é a soma da parte homogênea com a particular:
Resposta
y(t) = C_1 e^{-t} + C_2 t e^{-t} + \tfrac12 e^t - t + 2