Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)-2 y^prime(t)+2 y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(t)-2y'(t)+2y(t)=0,
ou seja, encontrar um par de soluções fundamentais e então escrever a solução geral. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Para aplicar o método da equação característica, assumimos uma solução do tipo y(t)=e^rt. Substituindo na EDO, temos:
r^2e^rt-2re^rt+2e^rt=0
Como e^rtneq0, chegamos à equação característica:
r^2-2r+2=0

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática r^2-2r+2=0. Calculando o discriminante:
De
Isso indica raízes complexas conjugadas.

Passo 4

As raízes são dadas por
r = 2 pm raiz-42 = 2 pm 2i2 = 1 pm i
Então temos alpha=1 e beta=1. Para raízes alphapm ibeta, as soluções fundamentais são:
y1(t)=e^alpha tcos(beta t), y2(t)=e^alpha tsin(beta t)

Passo 5

Substituindo alpha=1 e beta=1, obtemos as duas soluções fundamentais:
y1(t)=e^tcos t, y2(t)=e^tsin t
Logo a solução geral, combinação linear delas, é:
y(t)=C1e^tcos t + C2e^tsin t,
com C1 e C2 constantes arbitrárias.

Resposta

As soluções fundamentais são
y1(t)=e^tcos t, y2(t)=e^tsin t,
e a solução geral é
y(t)=C1e^tcos t + C2e^tsin t

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