Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de
ordem
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
ou seja, encontrar um par de soluções fundamentais e então escrever a solução geral. Vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Para aplicar o método da equação característica, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na EDO, temos:
Como
, chegamos à equação característica:
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
. Calculando o discriminante:
Isso indica raízes complexas conjugadas.
Passo 4
As raízes são dadas por
Então temos
e
. Para raízes
, as soluções fundamentais são:
Passo 5
Substituindo
e
, obtemos as duas soluções fundamentais:
Logo a solução geral, combinação linear delas, é:
com
e
constantes arbitrárias.
Resposta
As soluções fundamentais são
e a solução geral é