Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de 2^a ordem
y^prime prime(t)+y(t)=0

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa resolver a EDO homogênea de segunda ordem
y’’(t)+y(t)=0
O conteúdo aqui é EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Para aplicar o método, assumimos uma solução do tipo y(t)=e^{rt} e substituímos na EDO. Como y(t)=e^{rt}, temos y’(t)=r e^{rt} e y’’(t)=r^2 e^{rt}. Substituindo na EDO resulta na equação característica:
r^2+1=0

Passo 3

Agora vamos resolver a equação característica. Ela é
r^2+1=0
o que implica
r^2=-1Longrightarrow r=pm i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r=0±i·1, a teoria diz que as soluções fundamentais reais são
e^0,tcos(1,t)=cos t
e
e^0,tsin(1,t)=sin t

Passo 5

Por fim, a solução geral da EDO é combinação linear das duas soluções fundamentais. Logo,
y(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t, onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias

Resposta

Soluções fundamentais: cos t e sin t.
Solução geral: y(t)=C1cos t + C2sin t, com C1 e C2 constantes arbitrárias.

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