Encontre as soluções fundamentais e a solução geral das seguintes EDOs lineares de
ordem
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa resolver a EDO homogênea de segunda ordem
y’’(t)+y(t)=0
O conteúdo aqui é EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Para aplicar o método, assumimos uma solução do tipo y(t)=e^{rt} e substituímos na EDO. Como y(t)=e^{rt}, temos y’(t)=r e^{rt} e y’’(t)=r^2 e^{rt}. Substituindo na EDO resulta na equação característica:
Passo 3
Agora vamos resolver a equação característica. Ela é
o que implica
Passo 4
Como as raízes são complexas conjugadas r=0±i·1, a teoria diz que as soluções fundamentais reais são
e
Passo 5
Por fim, a solução geral da EDO é combinação linear das duas soluções fundamentais. Logo,
y(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t, onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias
Resposta
Soluções fundamentais:
e
.
Solução geral: , com
e
constantes arbitrárias.
Solução geral: