Encontre a solucão geral da equação diferencial dada.
(a) y^prime prime+2 y^prime+3 y=0

Passo 1

O exercício pede pra encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 3y = 0
Isso cai no conteúdo de EDOs lineares de ordem 2. Vamos usar o método da equação característica, ou seja, supor uma solução do tipo y=e^rx.

Passo 2

Substituímos y=e^rx na EDO. Como y'=r e^rx e y''=r^2 e^rx, temos
r^2 e^rx + 2r e^rx + 3 e^rx = 0
Como e^rxneq0, dividimos por ele e obtemos a equação característica
r^2 + 2r + 3 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa equação:
De
que é negativo. Logo as raízes são complexas conjugadas:
r = -2 pm raiz-82 = -1 pm iraiz2

Passo 4

Para raízes complexas r=alphapm ibeta, a solução geral da EDO homogênea é
$$y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr).
y(x)=e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r) ãy(x)=e^{-x}\bigl(C_1\cos(\sqrt2,x)+C_2\sin(\sqrt2,x)\bigr).
$$

Resposta

y(x)=e^-xl(C1cos(raiz2,x)+C2sin(raiz2,x)r)

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