Encontre a solucão geral da equação diferencial dada.
(a)
(a)
Passo 1
O exercício pede pra encontrar a solução geral da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Isso cai no conteúdo de EDOs lineares de ordem 2. Vamos usar o método da equação característica, ou seja, supor uma solução do tipo
Passo 2
Substituímos
na EDO. Como
e
, temos
Como
Passo 3
Calculamos o discriminante dessa equação:
que é negativo. Logo as raízes são complexas conjugadas:
Passo 4
Para raízes complexas
, a solução geral da EDO homogênea é
$$y(x)=e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\bigr).
$$