integral(2 x^2+5)^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(2 x^2+5)^5 x , dx. Aqui, estamos lidando com integração por substituição, que é uma técnica útil quando temos uma função composta. Para resolver isso, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por outra variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Olhando para (2 x^2+5)^5, percebemos que 2x^2 + 5 é uma função dentro de uma potência. Então, vamos definir:
u = 2x^2 + 5
Isso simplifica a expressão dentro da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx na integral. Calculando:
dudx = 4x
Ou seja:
du = 4x , dx
Isso significa que:
x , dx = 14 du

Passo 4

Vamos substituir u e x , dx na integral original:
integral(2 x^2+5)^5 x , dx = integral u^5 cdot 14 du = 14 integral u^5 du
Isso simplifica a integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral u^5 du:
integral u^5 du = u^66 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo u de volta pela expressão original 2x^2 + 5:
14 cdot (2x^2 + 5)^66 + C = (2x^2 + 5)^624 + C

Resposta

A integral integral(2 x^2+5)^5 x , dx é igual a:
(2x^2 + 5)^624 + C

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