Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=0

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' + 2y' + 2y = 0
Para resolver, vamos usar a equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando y por e^rx:
r^2 + 2r + 2 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot2 = 4 - 8 = -4
Como De<a<0, as raízes são complexas:
r = -2 pm raiz-42 = -1 pm i

Passo 3

Quando as raízes são da forma alphapm ibeta, com alpha=-1 e beta=1, a solução geral real é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha e beta, obtemos
y(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos x + C2sin xr)

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