1. A taxa de fluxo de água para fora de um reservatório (em m^3 / hora) é dada por Q^prime(t)= 100(1-t24)^2, onde t é o tempo em horas (0 <= t <= 24). Calcule o volume total de água que saiu do reservatório durante as primeiras 12 horas.

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de fluxo de saída de água Q'(t)=100l(1-tfract24r)^2 (em m^3/h) para 0<= t<=24. Queremos o volume total que saiu nas primeiras 12 h, ou seja, a integral de Q'(t) de t=0 até t=12. O conteúdo envolve cálculo de integrais definidas e uso de substituição.

Passo 2

Escrevemos o volume V como
V = integral0^12 Q'(t),dt = integral0^12 100l(1-tfract24r)^2,dt

Passo 3

Para facilitar, fazemos a substituição
u = 1 - tfract24, du = -tfrac124,dt ;Longrightarrow; dt = -24,du
Quando t=0, u=1. Quando t=12, u=1-tfrac1224=0.5.

Passo 4

Substituindo na integral:
V = integralu=1^0.5 100,u^2,(-24),du = -2400 integral1^0.5 u^2,du = -2400l[tfracu^33r]1^0.5
= -2400l(tfrac(0.5)^33-tfrac1^33r) = -2400l(tfrac124-tfrac13r) = -2400l(-tfrac724r) = 2400cdottfrac724 = 700

Passo 5

Portanto, o volume total de água que saiu nas primeiras 12 h é 700 metros cúbicos.

Resposta

,700 m^3

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