1. A taxa de variação da temperatura T(em ^circ C) de um objeto sendo aquecido é dada por d Td t=10 e^-0.1 t ^circ C / min, onde t é o tempo em minutos. A temperatura inicial do objeto é T(0)=25^circ C.
    a) Encontre a função T(t) que descreve a temperatura do objeto no instante t.
    b) Qual a temperatura do objeto após 5 minutos?
    c) Qual a temperatura limite que o objeto tende a atingir (t infty) ?

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial para a taxa de variação da temperatura
dTdt=10,e^-0,1t
com condição inicial ,T(0)=25^circ C.
O conteúdo é resolução de equação diferencial por integração indefinida para obter T(t), depois avaliar em t=5 e calcular o limite quando ttoinfty.

Passo 2

Para encontrar T(t), integramos ambos os lados em relação a t. Sabendo que
integral e^-0,1t,dt = -10,1e^-0,1t = -10,e^-0,1t,
temos
T(t)=integral 10,e^-0,1t,dt = 10l(-10,e^-0,1tr)+C = -100,e^-0,1t+C
Agora usamos a condição inicial T(0)=25^circ C:
25 = -100,e^0+C Longrightarrow C=25+100=125
Logo
T(t)=125 - 100,e^-0,1t

Passo 3

Para t=5 minutos, substituímos em T(t):
T(5) = 125 - 100,e^-0,1cdot5 = 125 - 100,e^-0,5 approx 125 - 100cdot0,60653 = 64,35^circ C

Passo 4

A temperatura limite quando ttoinfty é
limttoinftyT(t)=limttoinftyl(125 - 100,e^-0,1tr) =125 - 100cdot0 = 125^circ C

Resposta

a) T(t)=125 - 100,e^-0,1t
b) T(5)=125 - 100,e^-0,5approx64,35^circ C
c) limttoinftyT(t)=125^circ C

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