Calcule integral tg^3 xcos ^3 x d x.
DICA:
  • Manipule até encontrar integral 1-cos ^2 xcos ^6 x sin x d x.
  • Faça a substituição u=cos x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral tan^3xcos^3x,dx
O conteúdo principal aqui é a manipulação de identidades trigonométricas para reescrever a integral em função de sin x e cos x, e depois aplicar a substituição u=cos x.

Passo 2

Reescrevemos a integranda em termos de sin x e cos x:
tan^3xcos^3x =sin^3xcos^3xcdot1cos^3x =sin^3xcos^6x
Em seguida usamos a identidade sin^3x=(1-cos^2x)sin x, obtendo
sin^3xcos^6x =(1-cos^2x),sin xcos^6x
Logo a integral vira
integral (1-cos^2x),sin xcos^6x,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u=cos x, du=-sin x,dx Longrightarrow sin x,dx=-du
Assim
integral (1-cos^2x),sin xcos^6x,dx =-integral 1-u^2u^6,du =-integrall(u^-6-u^-4r),du

Passo 4

Integramos termo a termo:
-integral u^-6,du +integral u^-4,du =-u^-5-5 +u^-3-3 =u^-55-u^-33+C

Passo 5

Voltando a x com u=cos x, temos u^-3=sec^3x e u^-5=sec^5x. Logo a primitiva é
sec^5x5-sec^3x3+C

Resposta

integral tan^3xcos^3x,dx =sec^5x5-sec^3x3+C

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