Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+4 y=3 csc t 0<t<pi2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 4,y = 3,csc t, 0<t<tfracpi2
Isto é uma EDO linear de segunda ordem não-homogênea. Vamos resolver em duas etapas: primeiro a solução geral da homogênea yh e depois encontrar uma solução particular yp por variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''+4y=0
temos equação característica r^2+4=0, ou seja r=pm2i. Logo
yh = C1cos(2t) + C2sin(2t)

Passo 3

Para variação de parâmetros tomamos
y1=cos(2t), y2=sin(2t)
O Wronskiano é
W = cos(2t) & sin(2t) -2sin(2t) & 2cos(2t) =2cos^2(2t)+2sin^2(2t)=2
As fórmulas dão
u1' = -3,csc t,y2W = -3,csc t,sin(2t)2, u2' = 3,csc t,y1W = 3,csc t,cos(2t)2

Passo 4

Simplificando u1':
u1' = -32,sin(2t)sin t = -32,(2cos t) = -3cos t,
logo
u1 = integral -3cos t,dt = -3sin t
Para u2' note que
cos(2t)sin t = 1-2sin^2tsin t = csc t -2sin t,
portanto
u2' = 32l(csc t -2sin tr)
Integrando:
integral csc t,dt = lnl|tantfrac t2r|, integral sin t,dt = -cos t,
então
u2 = 32l[lnl(tantfrac t2r) +2cos tr] = 32lnl(tantfrac t2r)+3cos t

Passo 5

A solução particular é
yp = u1,y1 + u2,y2 = l(-3sin tr)cos(2t) +l(tfrac32ln(tantfrac t2)+3cos tr)sin(2t)
Usando sin(2t)=2sin tcos t e cos(2t)=cos^2t-sin^2t, agrupa-se para obter
yp = 3sin t + 32,sin(2t),ln!l(tantfrac t2r)

Passo 6

A solução geral é então
y(t) = yh + yp = C1cos(2t) + C2sin(2t) + 3sin t + 32,sin(2t),ln!l(tantfrac t2r)

Resposta

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