Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que a gente tem é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e tipo linear. Isso significa que podemos usar um método conhecido como “fator integrante” para resolver. Vamos precisar lembrar como encontrar esse fator e como aplicá-lo para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão:
Onde:
- $ P(x) = x^{4} $
- $ Q(x) = x^{4} e^{\frac{4 x^{5}}{5}} $
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação.
Passo 3
O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A vantagem de multiplicar pela fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto $ \mu(x) y $. Ou seja:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simples:
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Seja $ u = x^{5} $, então $ du = 5x^{4} dx $, ou seja, $ x^{4} dx = \frac{du}{5} $.
Substituindo na integral:
Passo 7
Voltando à equação:
Vamos isolar $ y $:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $.
Substituindo $ x = 0 $:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: