Resolva os problemas de valor inicial:
ly^prime+x^4 y=x^4 e^4 x^55 y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que a gente tem é:
y' + x^4 y = x^4 e^4 x^55 y(0) = 1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem e tipo linear. Isso significa que podemos usar um método conhecido como “fator integrante” para resolver. Vamos precisar lembrar como encontrar esse fator e como aplicá-lo para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão:
y' + P(x) y = Q(x)
Onde:
  • $ P(x) = x^{4} $
  • $ Q(x) = x^{4} e^{\frac{4 x^{5}}{5}} $
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação.

Passo 3

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Vamos calcular essa integral:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Então, o fator integrante é:
integral P(x) dx = integral x^4 dx = x^55

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando o lado direito:
e^x^55 y' + e^x^55 x^4 y = e^x^55 x^4 e^4 x^55

Passo 5

A vantagem de multiplicar pela fator integrante é que o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto $ \mu(x) y $. Ou seja:
mu(x) y
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
ddx ( e^x^55 y ) = x^4 e^x^5

Passo 6

A integral do lado esquerdo é simples:
e^x^55 y = integral x^4 e^x^5 dx + C
Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Seja $ u = x^{5} $, então $ du = 5x^{4} dx $, ou seja, $ x^{4} dx = \frac{du}{5} $.
Substituindo na integral:
u = x^5

Passo 7

Voltando à equação:
e^x^55 y = 15 e^x^5 + C
Vamos isolar $ y $:
y

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $.
Substituindo $ x = 0 $:
y(0) = 1

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = 15 e^4 x^55 + 45 e^-x^55

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