Suponha que
é contínua, que
somente para
, e que
para algum
assim como para algum
. O que pode ser dito sobre
para todo
?
Passo 1
O enunciado diz que f é contínua, que f(x)=0 somente para x=a, e que existem pontos x>a e x<a em que f(x)>0. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário e a ideia de que função contínua só muda de sinal atravessando zero.
Passo 2
Como f(x)>0 em algum x₁<a e f(a)=0, se f mudasse de positivo para negativo em (x₁,a) precisaria ter outro zero distinto de a, o que contradiz a hipótese de unicidade de zero. Logo, em todo o intervalo [x₁,a) temos f(x)>0.
Passo 3
De modo análogo, como f(x)>0 em algum x₂>a e f(a)=0, não pode haver sinal negativo em (a,x₂] sem existir outro zero. Portanto f(x)>0 em (a,x₂]. Unindo essas conclusões e extendendo a continuidade global, f nunca fica negativa sem cruzar zero em lugar distinto de a, o que é impossível.
Passo 4
Concluímos que f não muda de sinal e, pelo fato de assumir valores positivos tanto à esquerda quanto à direita de a, deve satisfazer f(x)>0 para todo x≠a.
Resposta
f(x)>0 para todo x≠a