Questão 1- Encontre a solução geral das EDOs abaixo usando o método de fatores integrantes.
t y^prime+2 y=ln (t)

Passo 1

Temos a EDO t,y'+2y=ln(t), que é uma equação diferencial de primeira ordem linear. Vamos usar o método de fator integrante.

Passo 2

Dividindo tudo por t (assumindo t>0) para ficar na forma padrão:
y'+2ty=ln(t)t

Passo 3

Aqui identificamos P(t)=2/t e Q(t)=ln(t)/t.

Passo 4

O fator integrante é dado por
mu(t)=e^integral P(t),dt=e^integral 2t,dt=e^2ln(t)=t^2

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^2 e reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto:
t^2y'+2t,y=ddtl(t^2yr)=t^2cdotln(t)t=tln(t)

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
integral dl(t^2yr)=integral tln(t),dt

Passo 7

Para calcular integral tln(t),dt, usamos integração por partes com u=ln(t) e dv=t,dt. Assim:
integral tln(t),dt=t^22ln(t)-integralt^22cdot1tdt=t^22ln(t)-t^24+C

Passo 8

Logo,
t^2y=t^22ln(t)-t^24+C

Passo 9

Por fim, dividimos por t^2 para achar y:
y=12ln(t)-14+Ct^-2

Resposta

y(t)=tfrac12ln(t)-tfrac14+C t^-2, com constante arbitrária C.

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