Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^{\prime}=5 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = 5y
e pede a solução geral y(x). As informações relevantes que temos são:
  • A incógnita é a função y de uma variável (vou chamar de x).
  • A equação relaciona a derivada y'=\dfrac{dy}{dx} com y multiplicado por 5.
  • Não foi fornecida condição inicial, então queremos a família geral de soluções, com uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos escolher um método simples e direto que funciona bem aqui: separação de variáveis. A ideia é rearranjar a equação para separar os termos que contêm y dos que contêm x, tornando possível integrar ambos os lados. Isso é permitido sempre que conseguirmos escrever a equação na forma
\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y),
o que nos permite fazer
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx
e integrar. No nosso caso a separação é bem simples.

Passo 3

Partindo de
\frac{dy}{dx} = 5y,
dividimos por y (observação: isso exige y\neq0; trataremos o caso y\equiv0 separadamente) e multiplicamos por dx:
\frac{1}{y}\,dy = 5\,dx.
Agora cada lado depende apenas de uma variável, pronto para integrar.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 5\,dx.
As primitivas são conhecidas: \int \dfrac{1}{y}\,dy = \ln|y| e \int 5\,dx = 5x + C, onde C é a constante de integração. Logo:
\ln|y| = 5x + C.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados para isolar y:
|y| = e^{5x + C} = e^{C} e^{5x}.
Como e^{C}>0, podemos escrever e^{C}=A com A>0, então |y| = A e^{5x}. Removendo o valor absoluto e permitindo que a constante absorva o sinal, obtemos a forma geral
y = C e^{5x},
onde agora C é uma constante arbitrária real (podendo ser zero). Observe que C=0 dá a solução trivial y\equiv0, que também atende a equação original.

Passo 6

Vamos checar rapidamente que essa família realmente resolve a equação. Se y(x)=C e^{5x}, então
y'(x) = C\cdot 5 e^{5x} = 5\big(C e^{5x}\big)=5y(x),
portanto satisfaz y'=5y. Tudo consistente.

Passo 7

Interpretação e exemplo prático (para fixar): tomar C=2 y(x)=2e^{5x}. Em x=0 tem y(0)=2 e y'(0)=10, e realmente y'(0)=5\cdot y(0). Para C>0 as soluções crescem exponencialmente; para C<0 decaem negativamente; para C=0 é a solução nula. Vai dar certo na prova — respira, pratica um exemplo ou dois e segue em frente!

Resposta

y = C e^{5x}

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