Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. As informações relevantes que temos são:
- A incógnita é a função
de uma variável (vou chamar de ). - A equação relaciona a derivada
com multiplicado por . - Não foi fornecida condição inicial, então queremos a família geral de soluções, com uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos escolher um método simples e direto que funciona bem aqui: separação de variáveis. A ideia é rearranjar a equação para separar os termos que contêm
dos que contêm
, tornando possível integrar ambos os lados. Isso é permitido sempre que conseguirmos escrever a equação na forma
o que nos permite fazer
e integrar. No nosso caso a separação é bem simples.
Passo 3
Partindo de
dividimos por
(observação: isso exige
; trataremos o caso
separadamente) e multiplicamos por
:
Agora cada lado depende apenas de uma variável, pronto para integrar.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
As primitivas são conhecidas:
e
, onde
é a constante de integração. Logo:
Passo 5
Exponenciando ambos os lados para isolar
:
Como
, podemos escrever
com
, então
. Removendo o valor absoluto e permitindo que a constante absorva o sinal, obtemos a forma geral
onde agora
é uma constante arbitrária real (podendo ser zero). Observe que
dá a solução trivial
, que também atende a equação original.
Passo 6
Vamos checar rapidamente que essa família realmente resolve a equação. Se
, então
portanto satisfaz
. Tudo consistente.
Passo 7
Interpretação e exemplo prático (para fixar): tomar
dá
. Em
tem
e
, e realmente
. Para
as soluções crescem exponencialmente; para
decaem negativamente; para
é a solução nula. Vai dar certo na prova — respira, pratica um exemplo ou dois e segue em frente!