Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y^{\prime}=2 y+x\left(e^{3 x}-e^{2 x}\right) ;\quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial a serem usadas. Escrevendo claramente:
  • Equação diferencial: y^{\prime}=2 y+x\left(e^{3 x}-e^{2 x}\right).
  • Condição inicial: y(0)=2.
O que o problema pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x). Aqui reescrevemos:
y^{\prime}-2y = x\left(e^{3x}-e^{2x}\right).
Assim P(x)=-2 e Q(x)=x\left(e^{3x}-e^{2x}\right).
Explicação do método (mini-aula): para uma equação linear de primeira ordem na forma y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x), usa-se um fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Multiplicando a equação por \mu(x) a esquerda se torna a derivada (\mu y)', o que permite integrar facilmente. Aqui cada símbolo significa:
  • y(x) é a função desconhecida que queremos;
  • P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x;
  • \mu(x) é o fator que facilita a integração.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Como P(x)=-2,
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.
Verificação rápida do porquê funciona: (\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu(y'+P y). Portanto multiplicando a equação por \mu obtemos (\mu y)'=\mu Q.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{-2x}. Fazendo isso:
\left(y e^{-2x}\right)' = e^{-2x}\cdot x\left(e^{3x}-e^{2x}\right).
Simplificar o lado direito usando propriedades dos exponenciais:
e^{-2x}\left(e^{3x}-e^{2x}\right)=e^{x}-1.
Logo
\left(y e^{-2x}\right)' = x\bigl(e^{x}-1\bigr).

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
y e^{-2x} = \int x\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
Agora calcular a integral \int x\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx. Separando:
\int x e^{x}\,dx - \int x\,dx.
Calcular \int x e^{x}\,dx por partes. Tomando u=x e dv=e^{x}dx, então du=dx e v=e^{x}. Pela fórmula de integração por partes:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} = (x-1)e^{x}.
Calcular \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}.
Portanto
\int x\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx = (x-1)e^{x} - \frac{x^{2}}{2} + C.
Assim temos
y e^{-2x} = (x-1)e^{x} - \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 6

Isolar y multiplicando por e^{2x}:
y = e^{2x}\left[(x-1)e^{x} - \frac{x^{2}}{2} + C\right].
Expandindo termos exponenciais:
y = e^{3x}(x-1) - \frac{x^{2}}{2}e^{2x} + C e^{2x}.

Passo 7

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=2. Avaliando em x=0:
y(0)= e^{0}(0-1) - \frac{0^{2}}{2}e^{0} + C e^{0} = -1 + C.
Como y(0)=2, obtemos -1 + C = 2, logo
C=3.

Passo 8

Substituir C=3 na solução geral encontrada:
y = e^{3x}(x-1) - \frac{x^{2}}{2}e^{2x} + 3e^{2x}.
Podemos reorganizar agrupando fatores e^{2x}:
y = e^{3x}(x-1) + e^{2x}\left(3 - \frac{x^{2}}{2}\right).
Verificação rápida (conforto): avaliando em x=0 y(0)=-1+3=2, que bate com a condição inicial.

Resposta

y(x)=e^{3x}(x-1)-\dfrac{x^{2}}{2}e^{2x}+3e^{2x}

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