Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial a serem usadas. Escrevendo claramente:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que o problema pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é
. Aqui reescrevemos:
Assim
e
.
Explicação do método (mini-aula): para uma equação linear de primeira ordem na forma
, usa-se um fator integrante
definido por
Multiplicando a equação por
a esquerda se torna a derivada
, o que permite integrar facilmente. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função desconhecida que queremos; -
e são funções conhecidas de ; -
é o fator que facilita a integração.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Como
,
Verificação rápida do porquê funciona:
. Portanto multiplicando a equação por
obtemos
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso:
Simplificar o lado direito usando propriedades dos exponenciais:
Logo
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Agora calcular a integral
. Separando:
Calcular
por partes. Tomando
e
, então
e
. Pela fórmula de integração por partes:
Calcular
.
Portanto
Assim temos
Passo 6
Isolar
multiplicando por
:
Expandindo termos exponenciais:
Passo 7
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Avaliando em
:
Como
, obtemos
, logo
Passo 8
Substituir
na solução geral encontrada:
Podemos reorganizar agrupando fatores
:
Verificação rápida (conforto): avaliando em
dá
, que bate com a condição inicial.