2 (4,0 pts.) Calcule os limites abaixo:
lim x 1 2^2 x-4 cdot 2^x+42^x-2,

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto12^2x-4cdot2^x+42^x-2
Este é um problema de limites envolvendo função exponencial que, ao substituir x=1, gera a forma indeterminada tfrac00. Vamos usar fatoração (ou substituição) para simplificar a expressão.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=1:
2^2cdot1-4cdot2^1+4=4-8+4=0, 2^1-2=0,
portanto é tfrac00.

Passo 3

Para fatorar, fazemos a substituição auxiliar
t = 2^x,
logo 2^2x = (2^x)^2 = t^2. A expressão do limite fica
limxto1t^2 - 4t + 4t - 2

Passo 4

Reconhecemos que
t^2 - 4t + 4 = (t-2)^2,
então
t^2 - 4t + 4t - 2 = (t-2)^2t-2 = t-2,
sempre que tneq2.

Passo 5

Voltando a x, t=2^x, o limite simplificado é
limxto1(2^x - 2) = 2^1 - 2 = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados