Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
6 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
6\,y'' - y' - y = 0
O conteúdo aqui é resolver esse tipo de equação usando o polinômio característico.

Passo 2

Para encontrar a solução, primeiro assumimos uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo na equação obtemos o polinômio característico
6\,r^2 - r - 1 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot6\cdot(-1) = 1 + 24 = 25.
Logo as raízes são
r_{1} = \frac{1 + \sqrt{25}}{12} = \frac{6}{12} = \tfrac12, \quad r_{2} = \frac{1 - \sqrt{25}}{12} = \frac{-4}{12} = -\tfrac13.

Passo 3

Como as raízes r_{1}=\tfrac12 e r_{2}=-\tfrac13 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1}\,e^{r_{1}x} + C_{2}\,e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

Resposta

y(x) = C_{1}\,e^{\frac{x}{2}} + C_{2}\,e^{-\frac{x}{3}}.

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