Use the definition of continuity and the properties of limits to show that the function is continuous at the given number a.
h(t)=\frac{2 t-3 t^{2}}{1+t^{3}}, \quad a=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
h(t)=\frac{2t-3t^{2}}{1+t^{3}}
é contínua em a=1. Lembrando a definição de continuidade num ponto a:
\lim_{t\to a}h(t)=h(a).
Para isso vamos usar as propriedades de limite de soma, produto e quociente, desde que o limite do denominador seja diferente de zero.

Passo 2

Calcular o valor de h em t=1. Basta substituir t=1:
h(1)=\frac{2\cdot1-3\cdot1^{2}}{1+1^{3}} =\frac{2-3}{1+1} =\frac{-1}{2} =-\tfrac12.

Passo 3

Calcular separadamente os limites do numerador e do denominador quando t\to1:
\lim_{t\to1}(2t-3t^{2}) =2\cdot1-3\cdot1^{2} =2-3 =-1,
\lim_{t\to1}(1+t^{3}) =1+1^{3} =2.

Passo 4

Pelo teorema do quociente de limites, como \lim_{t\to1}(1+t^{3})=2\neq0, temos
\lim_{t\to1}h(t) =\frac{\lim_{t\to1}(2t-3t^{2})}{\lim_{t\to1}(1+t^{3})} =\frac{-1}{2} =-\tfrac12.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{t\to1}h(t)=-\tfrac12 \quad\text{e}\quad h(1)=-\tfrac12,
portanto
\lim_{t\to1}h(t)=h(1),
logo h é contínua em t=1.

Resposta

A função h(t) é contínua em a=1.

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