Classifique cada função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} definida a seguir conforme seu crescimento.
f(x)=4^{x}

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos o tipo de crescimento da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+}^{*},\qquad f(x)=4^{x}.
O conteúdo envolvido é a identificação de funções de crescimento linear, polinomial, exponencial, logarítmico etc.

Passo 2

Uma função da forma
f(x)=a^{x}
com a>1 caracteriza-se por crescimento exponencial. Especificamente, para a=4:
  • A derivada \,f'(x)=\ln(4)\,4^{x}>0 mostra que f é estritamente crescente.
  • A segunda derivada \,f''(x)=(\ln(4))^{2}4^{x}>0 mostra que é convexa e cresce cada vez mais rápido.
  • Em comparação com qualquer polinômio x^{n}, tem-se
\lim_{x\to+\infty}\frac{4^{x}}{x^{n}}=+\infty,
o que confirma o crescimento exponencial.

Resposta

A função f(x)=4^{x} apresenta crescimento exponencial.

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