não existe, usando a regra dos dois caminhos.
As informações dadas são: a função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{4x^{3}-x^{2}y}{2xy^{2}},
definida (onde faz sentido) para pontos (x,y) próximos de (0,0). A tarefa é provar que o limite quando (x,y) tende a (0,0) não existe, apresentando dois caminhos de aproximação que dão limites diferentes.
Passo 2
Primeiro, um rápido lembrete didático sobre o que estamos fazendo (sem jargão pesado): para existir o limite de uma função de duas variáveis em um ponto, o valor da função ao nos aproximarmos desse ponto tem que se aproximar do mesmo número qualquer que seja o caminho escolhido para chegar lá. A “regra dos dois caminhos” diz: se você encontra dois caminhos que chegam ao mesmo ponto, mas os limites ao longo desses caminhos são diferentes, então o limite total não existe. Portanto bastam dois caminhos com limites distintos para concluir que o limite não existe.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão quando estamos fora dos pontos em que o denominador é zero. Fatorando x^{2} no numerador obtemos
Agora cancelamos x^{2} (válido para x\neq 0) e obtemos o valor do quociente ao longo dessa reta:
\frac{4-m}{2m^{2}}.
Observe que esse valor não depende de x: ao nos aproximarmos da origem por pontos da reta y=mx (com m\neq 0) o valor da função é constante igual a \dfrac{4-m}{2m^{2}}. Portanto o limite ao longo da reta y=mx é
Agora pegamos dois valores distintos de m para obter dois limites diferentes. Por exemplo:
Se m=1 (reta y=x) o limite é
\frac{4-1}{2\cdot 1^{2}}=\frac{3}{2}.
Se m=2 (reta y=2x) o limite é
\frac{4-2}{2\cdot 2^{2}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Como \dfrac{3}{2}\neq\dfrac{1}{4}, encontramos dois caminhos que levam a valores distintos. Pelo argumento da regra dos dois caminhos, isso basta para concluir que o limite total não existe.