Mostre que os limites abaixo não existem usando a regra dos dois caminhos:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{4 x^{3}-x^{2} y}{2 x y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{4x^{3}-x^{2}y}{2xy^{2}}
não existe, usando a regra dos dois caminhos.
As informações dadas são: a função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{4x^{3}-x^{2}y}{2xy^{2}},
definida (onde faz sentido) para pontos (x,y) próximos de (0,0). A tarefa é provar que o limite quando (x,y) tende a (0,0) não existe, apresentando dois caminhos de aproximação que dão limites diferentes.

Passo 2

Primeiro, um rápido lembrete didático sobre o que estamos fazendo (sem jargão pesado): para existir o limite de uma função de duas variáveis em um ponto, o valor da função ao nos aproximarmos desse ponto tem que se aproximar do mesmo número qualquer que seja o caminho escolhido para chegar lá. A “regra dos dois caminhos” diz: se você encontra dois caminhos que chegam ao mesmo ponto, mas os limites ao longo desses caminhos são diferentes, então o limite total não existe. Portanto bastam dois caminhos com limites distintos para concluir que o limite não existe.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão quando estamos fora dos pontos em que o denominador é zero. Fatorando x^{2} no numerador obtemos
\frac{4x^{3}-x^{2}y}{2xy^{2}}=\frac{x^{2}(4x-y)}{2xy^{2}}.
Cancelando um fator x (isto é válido quando x\neq 0) temos a expressão equivalente
\frac{x(4x-y)}{2y^{2}},
válida para pontos com x\neq 0 e y\neq 0 (precisamos também de y\neq 0 para que não haja divisão por zero no denominador).

Passo 4

Escolhemos caminhos do tipo reta passando pela origem, y=mx com constante m\neq 0. Substituindo y=mx na expressão simplificada temos
\frac{x(4x-mx)}{2(m x)^{2}}=\frac{x(4-m)x}{2m^{2}x^{2}}.
Agora cancelamos x^{2} (válido para x\neq 0) e obtemos o valor do quociente ao longo dessa reta:
\frac{4-m}{2m^{2}}.
Observe que esse valor não depende de x: ao nos aproximarmos da origem por pontos da reta y=mx (com m\neq 0) o valor da função é constante igual a \dfrac{4-m}{2m^{2}}. Portanto o limite ao longo da reta y=mx é
\lim_{x\to 0}\frac{4x^{3}-x^{2}y}{2xy^{2}}\Bigg|_{y=mx}=\frac{4-m}{2m^{2}}.

Passo 5

Agora pegamos dois valores distintos de m para obter dois limites diferentes. Por exemplo:
  • Se m=1 (reta y=x) o limite é
\frac{4-1}{2\cdot 1^{2}}=\frac{3}{2}.
  • Se m=2 (reta y=2x) o limite é
\frac{4-2}{2\cdot 2^{2}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Como \dfrac{3}{2}\neq\dfrac{1}{4}, encontramos dois caminhos que levam a valores distintos. Pelo argumento da regra dos dois caminhos, isso basta para concluir que o limite total não existe.

Resposta

O limite não existe.

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