Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(6 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0)
(6 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- A única pergunta é: encontrar a solução geral
que satisfaz essa equação.
Passo 2
Método escolhido (explico o porquê): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma exponencial
. Isso funciona bem porque derivadas de
dão fatores
que transformam a EDO em uma equação algébrica para
. Vou fazer isso passo a passo.
Se assumimos
, então
Substituindo na equação original:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica (uma equação algébrica em
):
Passo 3
Agora resolvemos a equação quadrática
Usamos a fórmula quadrática
onde
,
e
. Primeiro calculamos o discriminante:
Como
, temos
. Substituindo na fórmula:
Passo 4
Calculando as duas raízes:
Como obtivemos duas raízes reais distintas, as soluções elementares associadas são
e
. Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções independentes. Portanto
onde
e
são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se existirem). Essas constantes aparecem porque a EDO de segunda ordem precisa de duas condições para fixar uma solução única.