Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(6 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
6\,y''-y'-y=0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A única pergunta é: encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação.

Passo 2

Método escolhido (explico o porquê): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma exponencial \;y=e^{r x}\;. Isso funciona bem porque derivadas de e^{r x} dão fatores r que transformam a EDO em uma equação algébrica para r. Vou fazer isso passo a passo.
Se assumimos \;y=e^{r x}\;, então
y' = r e^{r x},\qquad y'' = r^{2} e^{r x}.
Substituindo na equação original:
6(r^{2} e^{r x}) - (r e^{r x}) - (e^{r x}) = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação característica (uma equação algébrica em r):
6r^{2}-r-1=0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática
6r^{2}-r-1=0.
Usamos a fórmula quadrática
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=6, b=-1 e c=-1. Primeiro calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot 6\cdot(-1)=1+24=25.
Como \Delta=25, temos \sqrt{\Delta}=5. Substituindo na fórmula:
r=\frac{-(-1)\pm 5}{2\cdot 6}=\frac{1\pm 5}{12}.

Passo 4

Calculando as duas raízes:
r_{1}=\frac{1+5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2},
r_{2}=\frac{1-5}{12}=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}.
Como obtivemos duas raízes reais distintas, as soluções elementares associadas são e^{r_{1}x}=e^{x/2} e e^{r_{2}x}=e^{-x/3}. Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é a combinação linear dessas duas soluções independentes. Portanto
y(x)=C_{1}e^{\tfrac{1}{2}x}+C_{2}e^{-\tfrac{1}{3}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se existirem). Essas constantes aparecem porque a EDO de segunda ordem precisa de duas condições para fixar uma solução única.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{\tfrac{1}{2}x}+C_{2}e^{-\tfrac{1}{3}x}

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