Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(4 y^{\prime \prime}-9 y=0)
(4 y^{\prime \prime}-9 y=0)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
Passo 2
Método padrão: para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Aqui
representa a taxa de crescimento/exponencial da solução; testar esse tipo de solução transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a chamada equação característica).
Passo 3
Substituímos
na equação. Calculamos as derivadas:
Substituindo em
obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Tomando raiz quadrada:
Temos duas raízes reais distintas
e
.
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear dessas soluções exponenciais:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a solução que satisfaz condições iniciais, se houver).
Aplicando aqui:
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): calcule
a partir da solução e substitua na equação para confirmar que ela é satisfeita.
Derivando:
Substituindo em
:
Logo a solução está correta.
Passo 7
Observação alternativa (opcional, mas às vezes útil): a solução também pode ser escrita em termos de funções hiperbólicas,
com correspondência entre constantes
e
, caso prefira essa forma.