Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(4 y^{\prime \prime}-9 y=0)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
4y''-9y=0.
Informações dadas:
\text{é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea, com coeficientes constantes.}éçãáê

Passo 2

Método padrão: para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
y=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Aqui r representa a taxa de crescimento/exponencial da solução; testar esse tipo de solução transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a chamada equação característica).

Passo 3

Substituímos y=e^{rx} na equação. Calculamos as derivadas:
y'=r e^{rx},\qquad y''=r^{2}e^{rx}.
Substituindo em \;4y''-9y=0\; obtemos a equação característica:
4r^{2}-9=0.

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
4r^{2}-9=0 \quad\Rightarrow\quad 4r^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=\frac{9}{4}.
Tomando raiz quadrada:
r=\pm\frac{3}{2}.
Temos duas raízes reais distintas r_{1}=\frac{3}{2} e r_{2}=-\frac{3}{2}.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear dessas soluções exponenciais:
y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinam a solução que satisfaz condições iniciais, se houver).
Aplicando aqui:
y=C_{1}e^{\frac{3}{2}x}+C_{2}e^{-\frac{3}{2}x}.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): calcule y'' a partir da solução e substitua na equação para confirmar que ela é satisfeita.
Derivando:
y'=\frac{3}{2}C_{1}e^{\frac{3}{2}x}-\frac{3}{2}C_{2}e^{-\frac{3}{2}x},
y''=\frac{9}{4}C_{1}e^{\frac{3}{2}x}+\frac{9}{4}C_{2}e^{-\frac{3}{2}x}.
Substituindo em 4y''-9y:
4y''-9y=4\left(\frac{9}{4}C_{1}e^{\frac{3}{2}x}+\frac{9}{4}C_{2}e^{-\frac{3}{2}x}\right)-9\left(C_{1}e^{\frac{3}{2}x}+C_{2}e^{-\frac{3}{2}x}\right)=0.
Logo a solução está correta.

Passo 7

Observação alternativa (opcional, mas às vezes útil): a solução também pode ser escrita em termos de funções hiperbólicas,
y=A\operatorname{cosh}\!\left(\frac{3}{2}x\right)+B\operatorname{sinh}\!\left(\frac{3}{2}x\right),
com correspondência entre constantes (A,B) e (C_{1},C_{2}), caso prefira essa forma.

Resposta

y=C_{1}e^{\frac{3}{2}x}+C_{2}e^{-\frac{3}{2}x}

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