2. Intensidade de Luz
Uma tela circular é iluminada por um projetor, ocupando a região
A intensidade de luz em um ponto
da tela é dada por
Encontre a intensidade máxima e mínima sobre a tela.
Passo 1
O enunciado dá a região da tela como o disco
e pede os valores máximos e mínimos da função
sobre esse disco. O conteúdo aqui é “otimização de função de duas variáveis em região fechada e limitada”. Vamos buscar pontos críticos no interior e depois na fronteira.
Passo 2
Procuramos pontos críticos no interior do disco, onde o gradiente de
seja nulo.
Para zerar esse vetor, precisaríamos
mas
não ocorre. Logo, não há extremos no interior; todos ocorrem na fronteira
.
Passo 3
Na fronteira usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
e exigimos
isto é
Isso gera o sistema
Passo 4
Resolvemos o sistema em dois casos:
Caso 1: .
Então dá
. Os valores de
são
Caso 1:
Então
Caso 2:
.
Da segunda equação vem .
Da primeira, .
Na fronteira,
Da segunda equação vem
Da primeira,
Na fronteira,
O valor de
então é
Passo 5
Comparamos os candidatos:
Logo o máximo é
e o mínimo é
.
Resposta
Intensidade máxima:
, atingida em
.
Intensidade mínima: , atingida em
.
Intensidade mínima: