2. Intensidade de Luz

Uma tela circular é iluminada por um projetor, ocupando a região
x^{2}+y^{2} \leq 4
A intensidade de luz em um ponto (x, y) da tela é dada por
I(x, y)=3 x-y^{2}
Encontre a intensidade máxima e mínima sobre a tela.

Passo 1

O enunciado dá a região da tela como o disco
x^{2}+y^{2}\le4
e pede os valores máximos e mínimos da função
I(x,y)=3x - y^{2}
sobre esse disco. O conteúdo aqui é “otimização de função de duas variáveis em região fechada e limitada”. Vamos buscar pontos críticos no interior e depois na fronteira.

Passo 2

Procuramos pontos críticos no interior do disco, onde o gradiente de I seja nulo.
\nabla I(x,y) = \bigl( \partial_x I,\;\partial_y I\bigr) = (3,\,-2y).
Para zerar esse vetor, precisaríamos
3=0 \quad\text{e}\quad -2y=0,
mas 3=0 não ocorre. Logo, não há extremos no interior; todos ocorrem na fronteira x^{2}+y^{2}=4.

Passo 3

Na fronteira usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4=0
e exigimos
\nabla I = \lambda\,\nabla g,
isto é
(3,\,-2y)=\lambda\,(2x,\,2y).
Isso gera o sistema
3=2\lambda x, \qquad -2y=2\lambda y, \qquad x^{2}+y^{2}=4.

Passo 4

Resolvemos o sistema em dois casos:
Caso 1: y=0.
Então x^{2}=4 x=\pm2. Os valores de I são
I(2,0)=3\cdot2-0=6, \qquad I(-2,0)=3\cdot(-2)-0=-6.
Caso 2: y\neq0.
Da segunda equação vem -2y=2\lambda y\implies \lambda=-1.
Da primeira, 3=2\lambda x\implies3=2(-1)x\implies x=-\tfrac32.
Na fronteira,
\bigl(-\tfrac32\bigr)^{2}+y^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=4-\tfrac{9}{4}=\tfrac{7}{4} \quad\Longrightarrow\quad y=\pm\tfrac{\sqrt7}{2}.
O valor de I então é
I\bigl(-\tfrac32,\pm\tfrac{\sqrt7}{2}\bigr) =3\bigl(-\tfrac32\bigr)-\tfrac{7}{4} =-\tfrac{9}{2}-\tfrac{7}{4} =-\tfrac{25}{4}=-6{,}25.

Passo 5

Comparamos os candidatos:
6,\quad -6,\quad -6{,}25.
Logo o máximo é 6 e o mínimo é -6{,}25.

Resposta

Intensidade máxima: 6, atingida em (2,0).
Intensidade mínima: -\tfrac{25}{4}=-6{,}25, atingida em \bigl(-\tfrac32,\pm\tfrac{\sqrt7}{2}\bigr).

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