Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(y^{\prime}-2 y=3 e^{t})

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 2y = 3e^{t}
e pede a solução geral. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é indicado para equações da forma
y' + p(t)y = g(t).

Passo 2

Primeiro, identificamos
p(t) = -2 \quad\text{e}\quad g(t) = 3e^{t}.
O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt} = e^{\int -2\,dt} = e^{-2t}.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(t):
e^{-2t}y' - 2e^{-2t}y = 3e^{t}e^{-2t} = 3e^{-t}.
O lado esquerdo torna-se a derivada do produto \mu(t)y, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}y\bigr) = 3e^{-t}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{-2t}y = \int 3e^{-t}\,dt = 3\bigl(-e^{-t}\bigr) + C = -3e^{-t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, isolamos y multiplicando por e^{2t}:
y = \bigl(-3e^{-t} + C\bigr)e^{2t} = -3e^{t} + Ce^{2t}.

Resposta

y(t) = Ce^{2t} - 3e^{t}.

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