A área de produção de uma pequena fábrica ocupa a região triangular
D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 5\right\}
A quantidade de produtos fabricados em um ponto ( x, y ) é modelada por
P(x, y)=x^{2}+2 y-2 x
Determine a produção máxima e mínima dentro da área de produção.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor máximo e mínimo da função
P(x,y)=x^2+2y-2x
num domínio triangular
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le5\}.
Como P é contínua em D, que é compacto, os extremos ocorrem em pontos críticos internos (onde \nabla P=0) ou ao longo das fronteiras.

Passo 2

Procuramos pontos críticos internos resolvendo
\frac{\partial P}{\partial x}=2x-2=0, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=2=0.
A segunda equação não tem solução, então não há ponto crítico no interior de D.

Passo 3

Analisamos a aresta x=0, com y\in[0,5]. Nesse caso
P(0,y)=2y,
que varia de P(0,0)=0 até P(0,5)=10.

Passo 4

Analisamos a aresta y=0, com x\in[0,5]. Temos
P(x,0)=x^2-2x.
Para achar o extremo, derivamos em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^2-2x)=2x-2=0\;\Longrightarrow\;x=1\in[0,5].
Os valores são
P(1,0)=1-2=-1,\quad P(0,0)=0,\quad P(5,0)=25-10=15.
Logo, nesta aresta o mínimo local é -1 em (1,0) e o máximo local é 15 em (5,0).

Passo 5

Analisamos a aresta x+y=5, i.e.\ y=5-x com x\in[0,5]. Então
P(x,5-x)=x^2+2(5-x)-2x =x^2-4x+10.
Derivando:
\frac{d}{dx}(x^2-4x+10)=2x-4=0\;\Longrightarrow\;x=2.
Os valores são
P(2,3)=4-8+10=6,\quad P(0,5)=10,\quad P(5,0)=15.
Assim, nessa aresta o mínimo é 6 em (2,3) e o máximo é 15 em (5,0).

Passo 6

Reunindo todos os candidatos:
P(1,0)=-1,\; P(0,0)=0,\; P(0,5)=10,\; P(2,3)=6,\; P(5,0)=15.
Portanto o valor mínimo global é -1 e o máximo global é 15.

Resposta

Produção mínima: -1 em (1,0).
Produção máxima: 15 em (5,0).

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