A área de produção de uma pequena fábrica ocupa a região triangular
A quantidade de produtos fabricados em um ponto (
) é modelada por
Determine a produção máxima e mínima dentro da área de produção.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor máximo e mínimo da função
num domínio triangular
Como
é contínua em
, que é compacto, os extremos ocorrem em pontos críticos internos (onde
) ou ao longo das fronteiras.
Passo 2
Procuramos pontos críticos internos resolvendo
A segunda equação não tem solução, então não há ponto crítico no interior de
.
Passo 3
Analisamos a aresta
, com
. Nesse caso
que varia de
até
.
Passo 4
Analisamos a aresta
, com
. Temos
Para achar o extremo, derivamos em relação a
:
Os valores são
Logo, nesta aresta o mínimo local é
em
e o máximo local é
em
.
Passo 5
Analisamos a aresta
, i.e.\
com
. Então
Derivando:
Os valores são
Assim, nessa aresta o mínimo é
em
e o máximo é
em
.
Passo 6
Reunindo todos os candidatos:
Portanto o valor mínimo global é
e o máximo global é
.
Resposta
Produção mínima:
em
.
Produção máxima: em
.
Produção máxima: