Seja
qualquer função polinomial. Prove que existe algum número
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que todo polinômio
atinge um valor de mínimo em módulo, ou seja, existe
tal que
para todo
. Vamos usar o comportamento de
no infinito e o Teorema do Valor Extremo.
Passo 2
Se o polinômio for constante,
, então
para todo
e qualquer
funciona. Logo, supomos que o grau de
seja
.
Passo 3
Como
tem grau
, o termo de maior grau domina quando
. Logo,
Isto significa que, para valores grandes de
,
fica arbitrariamente grande.
Passo 4
Pelo limite ao infinito, existe
tal que para todo
com
temos
. Assim, em
os valores de
são todos maiores que
.
Passo 5
Agora considere o intervalo fechado e limitado
. Como
é contínua, também
é contínua. Pelo Teorema do Valor Extremo, existe
que minimiza
nesse intervalo, ou seja,
para todo
.
Passo 6
Para qualquer
temos dois casos:
- Se
, então e pela escolha de . - Se
, então .
Em ambos os casos se mantém, mostrando a existência do mínimo global em módulo.
Resposta
Existe
com
para todo
.