Seja f qualquer função polinomial. Prove que existe algum número y tal que |f(y)| <=|f(x)| para todo x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que todo polinômio fcolon RtoR atinge um valor de mínimo em módulo, ou seja, existe y tal que |f(y)|<= |f(x)| para todo x. Vamos usar o comportamento de f no infinito e o Teorema do Valor Extremo.

Passo 2

Se o polinômio for constante, f(x)=c, então |f(x)|=|c| para todo x e qualquer y funciona. Logo, supomos que o grau de f seja n>=1.

Passo 3

Como f tem grau n>=1, o termo de maior grau domina quando |x|toinfty. Logo,
lim|x|toinfty|f(x)| = +infty
Isto significa que, para valores grandes de |x|, |f(x)| fica arbitrariamente grande.

Passo 4

Pelo limite ao infinito, existe R>0 tal que para todo x com |x|>= R temos |f(x)|>|f(0)|. Assim, em x:|x|>= R os valores de |f(x)| são todos maiores que |f(0)|.

Passo 5

Agora considere o intervalo fechado e limitado [-R,R]. Como f é contínua, também |f| é contínua. Pelo Teorema do Valor Extremo, existe yin[-R,R] que minimiza |f| nesse intervalo, ou seja, |f(y)|<=|f(x)| para todo xin[-R,R].

Passo 6

Para qualquer xinR temos dois casos:
  • Se |x|<= R, então xin[-R,R] e |f(x)|>=|f(y)| pela escolha de y.
  • Se |x|>= R, então |f(x)|>|f(0)|>=|f(y)|.
    Em ambos os casos se mantém |f(x)|>=|f(y)|, mostrando a existência do mínimo global em módulo.

Resposta

Existe yinR com |f(y)|<=|f(x)| para todo x.

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