Mostrar que
, para
.
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que
para valores de
entre 0 e
. Isso envolve funções trigonométricas e inequações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e derivadas.
Passo 2
Vamos considerar a função
. Nosso objetivo é provar que
é sempre positiva no intervalo
, o que significa que
nesse intervalo.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar o valor de
no ponto inicial do intervalo, que é
. Substituindo na função:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos ver como a função
se comporta conforme
aumenta. Para isso, vamos calcular a derivada de
, que nos ajuda a entender se a função está crescendo ou decrescendo:
Passo 5
Vamos analisar o sinal da derivada
no intervalo
. Sabemos que
é sempre menor que 1 nesse intervalo porque
e
. Portanto:
Isso significa que
para todo
no intervalo
.
Passo 6
Como a derivada
é positiva nesse intervalo, a função
está sempre aumentando conforme
aumenta. Já vimos que
, então para
, teremos:
Passo 7
Finalmente, podemos reescrever a última desigualdade para concluir:
Portanto, mostramos que
para todo
.