Mostrar que sen x, para 0.

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que sen,x < x para valores de x entre 0 e pi/2. Isso envolve funções trigonométricas e inequações. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções e derivadas.

Passo 2

Vamos considerar a função f(x) = x - sin x. Nosso objetivo é provar que f(x) é sempre positiva no intervalo 0 < x < pi/2, o que significa que sin x < x nesse intervalo.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar o valor de f(x) no ponto inicial do intervalo, que é x = 0. Substituindo na função:
f(0) = 0 - sin 0 = 0 - 0 = 0
Então, f(0) = 0.

Passo 4

Agora, vamos ver como a função f(x) se comporta conforme x aumenta. Para isso, vamos calcular a derivada de f(x), que nos ajuda a entender se a função está crescendo ou decrescendo:
f'(x) = ddx(x - sin x) = 1 - cos x

Passo 5

Vamos analisar o sinal da derivada f'(x) = 1 - cos x no intervalo 0 < x < pi/2. Sabemos que cos x é sempre menor que 1 nesse intervalo porque cos 0 = 1 e cos(pi/2) = 0. Portanto:
1 - cos x > 0
Isso significa que f'(x) > 0 para todo x no intervalo 0 < x < pi/2.

Passo 6

Como a derivada f'(x) é positiva nesse intervalo, a função f(x) está sempre aumentando conforme x aumenta. Já vimos que f(0) = 0, então para x > 0, teremos:
f(x) = x - sin x > 0

Passo 7

Finalmente, podemos reescrever a última desigualdade para concluir:
x - sin x > 0 implies sin x < x
Portanto, mostramos que sen,x < x para todo 0 < x < pi/2.

Resposta

sen,x < x para todo 0 < x < pi/2.

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