Encontre a solução geral da equação diferencial
com
. Quando
tende para algum número real?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial
com a condição inicial
. Isso está relacionado ao estudo das equações diferenciais ordinárias, especificamente as de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e métodos de resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la numa forma mais familiar. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão:
Onde
e
são funções de
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação numa derivada de um produto.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, temos:
Para resolver para
, dividimos ambos os lados por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Substituímos
na solução geral:
Passo 9
Por fim, analisamos o comportamento de
quando
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
. Quando
tende para infinito,
se aproxima de
.