Encontre a solução geral da equação diferencial dydt=3-2y com y(0)=1. Quando t infty, y tende para algum número real?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial dydt = 3 - 2y com a condição inicial y(0) = 1. Isso está relacionado ao estudo das equações diferenciais ordinárias, especificamente as de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais lineares e métodos de resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la numa forma mais familiar. A equação dada é:
dydt = 3 - 2y
Podemos reescrever isso como:
dydt + 2y = 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão:
dydt + P(t)y = Q(t)
Onde P(t) e Q(t) são funções de t. No nosso caso, P(t) = 2 e Q(t) = 3.

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante, mu(t), é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = 2, temos:
mu(t) = e^integral 2 , dt = e^2t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t):
e^2t cdot dydt + e^2t cdot 2y = e^2t cdot 3
Isso simplifica para:
ddt ( e^2t y ) = 3e^2t
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma a equação numa derivada de um produto.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt ( e^2t y ) dt = integral 3e^2t dt
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^2t y, e a integral do lado direito é:
integral 3e^2t dt = 32 e^2t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, temos:
e^2t y = 32 e^2t + C
Para resolver para y, dividimos ambos os lados por e^2t:
y = 32 + Ce^-2t
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C:
1 = 32 + C e^-2 cdot 0 Rightarrow 1 = 32 + C
Resolvendo para C:
C = 1 - 32 = -12

Passo 8

Substituímos C na solução geral:
y = 32 - 12 e^-2t

Passo 9

Por fim, analisamos o comportamento de y quando t infty:
limt to infty y = 32 - 12 limt to infty e^-2t
Sabemos que limt to infty e^-2t = 0, então:
limt to infty y = 32 - 0 = 32

Resposta

A solução geral da equação diferencial é y = 32 - 12 e^-2t. Quando t tende para infinito, y se aproxima de 32.

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