Nas partes (a)-(h), determine se a afirmaテァテ」o テゥ verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Uma equaテァテ」o linear sテウ, com duas ou mais incテウgnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluテァテオes.
Uma equaテァテ」o linear sテウ, com duas ou mais incテウgnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluテァテオes.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se “uma equação linear única, com duas ou mais incógnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluções” é verdadeira ou falsa. O conteúdo é teoria de solução de equações lineares em ℝⁿ e vamos usar definições de conjunto- solução e casos degenerados.
Passo 2
Uma equação linear em n variáveis x₁,…,xₙ é escrita como
onde a₁,…,aₙ e b são números reais. Quando nem todos os coeficientes a_i são zero, essa equação define um hiperplano de dimensão n−1 em ℝⁿ, que tem infinitas soluções.
Passo 3
Entretanto, se todos os coeficientes a₁ = a₂ = ⋯ = aₙ = 0 a equação se reduz a
Nesse caso há duas subsituações: se b ≠ 0, a equação é inconsistente e não tem solução; se b = 0, qualquer tupla (x₁,…,xₙ) satisfaz a equação e há infinitas soluções.
Passo 4
Como encontramos um caso (0x₁+0x₂+⋯+0xₙ = b com b≠0) que não tem nenhuma solução, a afirmação de que sempre há infinitas soluções é falsa.
Resposta
Falsa. Por exemplo, a equação 0·x + 0·y = 1 não tem nenhuma solução.