Nas partes (a)-(h), determine se a afirmaテァテ」o テゥ verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Uma equaテァテ」o linear sテウ, com duas ou mais incテウgnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluテァテオes.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se “uma equação linear única, com duas ou mais incógnitas, sempre deve ter uma infinidade de soluções” é verdadeira ou falsa. O conteúdo é teoria de solução de equações lineares em ℝⁿ e vamos usar definições de conjunto- solução e casos degenerados.

Passo 2

Uma equação linear em n variáveis x₁,…,xₙ é escrita como
a1x1 + a2x2 + dots + anxn = b,
onde a₁,…,aₙ e b são números reais. Quando nem todos os coeficientes a_i são zero, essa equação define um hiperplano de dimensão n−1 em ℝⁿ, que tem infinitas soluções.

Passo 3

Entretanto, se todos os coeficientes a₁ = a₂ = ⋯ = aₙ = 0 a equação se reduz a
0 = b
Nesse caso há duas subsituações: se b ≠ 0, a equação é inconsistente e não tem solução; se b = 0, qualquer tupla (x₁,…,xₙ) satisfaz a equação e há infinitas soluções.

Passo 4

Como encontramos um caso (0x₁+0x₂+⋯+0xₙ = b com b≠0) que não tem nenhuma solução, a afirmação de que sempre há infinitas soluções é falsa.

Resposta

Falsa. Por exemplo, a equação 0·x + 0·y = 1 não tem nenhuma solução.

Exercícios relacionados