Encontre a solução geral para a equação diferencial
\frac{d x}{d t}=3 x t^{2}
Escolha uma opção:
a. Consegui resolver. \quad \mathrm{x}=\mathrm{Ce}^{\wedge} \mathrm{t}^{\wedge} 3
b. Não consegui resolver.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dx}{dt} = 3\,x\,t^{2},
que é uma equação separável. Para resolvê-la, vamos isolar x de um lado e t do outro e depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em x de um lado e todos os termos em t de outro:
\frac{1}{x}\,\frac{dx}{dt} = 3\,t^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = 3\,t^{2}\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = \int 3\,t^{2}\,dt
Isso dá
\ln\bigl|x\bigr| = t^{3} + C_{1},
onde C_{1} é a constante arbitrária de integração.

Passo 4

Para isolar x, aplicamos exponencial em ambos os lados:
\bigl|x\bigr| = e^{t^{3} + C_{1}} = e^{C_{1}}\,e^{t^{3}}.
Definindo C = \pm e^{C_{1}}, obtemos a solução geral
x = C\,e^{t^{3}}.

Resposta

a. x = C\,e^{t^{3}}

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