Determine se a equação diferencial dada é separável, linear, ambas, ou nem linear nem separável.
\frac{d x}{d t}+x t=e^{x}
nem separável, nem linear
x^{2} \frac{d y}{d x}+\sin x-y=0 \square linear
3 t=e^{t} \frac{d y}{d t}+y \ln t \square linear
\left(t^{2}+1\right) \frac{d y}{d t}=y t-y \square linear e separável

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique cada equação diferencial de primeira ordem em termos de ser separável, linear, ambas ou nenhuma. Vamos lembrar:
  • Uma equação é linear em y (ou em x) se puder ser posta na forma
\frac{dY}{dT} + P(T)\,Y = Q(T),
onde nem P nem Q dependem de Y.
  • Uma equação é separável se puder ser escrita como
\frac{dY}{dT} = f(Y)\,g(T),
permitindo separar as variáveis Y e T.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{dx}{dt} + x\,t = e^{x},
vemos que o termo não homogêneo é e^{x}, que depende de x. Logo não cabe em \frac{dx}{dt} + P(t)\,x = Q(t),
pois Q não é função só de t. Também não dá para escrever \frac{dx}{dt} = f(x)\,g(t)
porque \frac{dx}{dt}=e^x - t\,x não é produto de função de x por função de t.
Conclusão: nem linear, nem separável.

Passo 3

Para \displaystyle x^{2}\,\frac{dy}{dx} + \sin x - y = 0
pônhamos em forma padrão:
x^{2}\frac{dy}{dx} - y = -\sin x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^{2}}\,y = -\frac{\sin x}{x^{2}}.
Isto é claramente da forma \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x), logo é linear. Não é separável porque o lado direito não se fatora como f(y)\,g(x).

Passo 4

Para \displaystyle 3t = e^{t}\,\frac{dy}{dt} + y\,\ln t
organizamos assim:
e^{t}\frac{dy}{dt} + (\ln t)\,y = 3t \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} + \frac{\ln t}{e^{t}}\,y = \frac{3t}{e^{t}}.
De novo, está na forma \frac{dy}{dt} + P(t)\,y = Q(t), então é linear. Não é separável pois não dá para escrever \frac{dy}{dt}=f(y)\,g(t).

Passo 5

Para \displaystyle (t^{2}+1)\,\frac{dy}{dt} = y\,t - y
fatoramos o lado direito:
(t^{2}+1)\frac{dy}{dt} = y\,(t-1) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = \frac{t-1}{t^{2}+1}\;y.
Isso é:
  1. Linear, pois cabe em \frac{dy}{dt} + P(t)\,y = 0.
  2. Separável, pois \frac{dy}{dt} = y\cdot\frac{t-1}{t^{2}+1} permite escrever \frac{dy}{y} = \frac{t-1}{t^{2}+1}\,dt.

Resposta

  1. nem separável, nem linear
  2. linear
  3. linear
  4. linear e separável

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