Classifique a equação diferencial como separável, linear, exata ou nenhuma destas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação.
\left(x^{10 / 3}-2 y\right) d x+x d y=0 \square nenhuma delas x
\sqrt{-2 y-y^{2}} d x+\left(3+2 x-x^{2}\right) d y=0 \square linear x
\left(y e^{x y}+2 x\right) d x+\left(x e^{x y}-2 y\right) d y=0 \square linear x
y^{2} d x+(2 x y+\cos y) d y=0 \square exata \times
[2 x+y \cos (x y)] d x+[x \cos (x y)-2 y] d y=0 \square exata

Passo 1

O enunciado pede para cada equação diferencial da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
verificar se ela é
– separável (ou seja, pode escrever-se como f(y)\,dy + g(x)\,dx=0),
– linear de primeiro ordem em y (ou seja, ao colocar \tfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)),
– exata (quando \partial M/\partial y = \partial N/\partial x),
ou nenhuma dessas. Algumas equações podem pertencer a mais de uma classe.

Passo 2

Considere
(x^{10/3}-2y)\,dx + x\,dy = 0.
Aqui M(x,y)=x^{10/3}-2y e N(x,y)=x.
  1. Verificação de exatidão:
    \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = -2,
    \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
    Como -2\neq1, não é exata.
  2. Verificação de separabilidade:
    \displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x^{10/3}-2y}{x} = -x^{7/3} + \frac{2}{x}\,y.
    A expressão envolve y somado a termo em x, não se separa em f(y)\,dy = g(x)\,dx.
  3. Verificação de linearidade em y:
    Reescrevendo
\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}\,y = -\,x^{7/3},
temos a forma \tfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).
Logo, esta equação é linear.

Passo 3

Considere
\sqrt{-2y-y^2}\,dx + \bigl(3+2x - x^2\bigr)\,dy = 0.
Aqui M(x,y)=\sqrt{-2y-y^2} e N(x,y)=3+2x-x^2.
  1. M depende só de y e N só de x, logo pode-se separar:
\frac{dx}{3+2x-x^2} + \frac{dy}{\sqrt{-2y-y^2}} = 0.
  1. Não é exata, pois
    \partial M/\partial y\neq \partial N/\partial x.
  2. Não está na forma linear em y.
    Portanto, é separável.

Passo 4

Considere
\bigl(y\,e^{xy} + 2x\bigr)\,dx + \bigl(x\,e^{xy} - 2y\bigr)\,dy = 0.
Aqui M(x,y)=y\,e^{xy}+2x e N(x,y)=x\,e^{xy}-2y.
Calculemos
\frac{\partial M}{\partial y} = e^{xy} + xy\,e^{xy}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = e^{xy} + xy\,e^{xy}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.
Não é separável nem linear em y.

Passo 5

Considere
y^{2}\,dx + \bigl(2xy + \cos y\bigr)\,dy = 0.
Aqui M(x,y)=y^2 e N(x,y)=2xy+\cos y.
\frac{\partial M}{\partial y}=2y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=2y,
logo é exata.
Não se separa em f(y)\,dy=g(x)\,dx e não está na forma \tfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).

Passo 6

Considere
\bigl(2x + y\cos(xy)\bigr)\,dx + \bigl(x\cos(xy) - 2y\bigr)\,dy = 0.
Aqui M(x,y)=2x+y\cos(xy) e N(x,y)=x\cos(xy)-2y.
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos(xy) - xy\,\sin(xy), \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \cos(xy) - xy\,\sin(xy),
logo é exata.

Resposta

  1. (x^{10/3}-2y)\,dx + x\,dy=0 — linear.
  2. \sqrt{-2y-y^2}\,dx + (3+2x-x^2)\,dy=0 — separável.
  3. (y e^{xy}+2x)\,dx + (x e^{xy}-2y)\,dy=0 — exata.
  4. y^{2}\,dx + (2xy+\cos y)\,dy=0 — exata.
  5. (2x+y\cos(xy))\,dx + (x\cos(xy)-2y)\,dy=0 — exata.

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