Marque as equações diferenciais que forem separáveis.
Escolha uma ou mais:
a. \quad \frac{d y}{d x}-\sin (x+y)=0
b. \frac{d y}{d x}=4 y^{2}-3 y+1
c. \quad \frac{d s}{d t}=t \ln \left(s^{2 t}\right)+8 t^{2}
d. \left(x y^{2}+3 y^{2}\right) d y-2 x d x=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das equações diferenciais são separáveis. O conteúdo é “equações diferenciais de separação de variáveis”, e vamos precisar usar a definição de separabilidade: conseguir escrever a equação na forma
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y).

Passo 2

Uma equação diferencial é separável se conseguirmos isolar as variáveis de forma que todo termo em x fique multiplicando todo termo em y. Em outras palavras, tem de dar para escrever
\frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y),
pois daí basta separar e integrar \frac{1}{g(y)}\,dy = f(x)\,dx.

Passo 3

Analisando a opção (a):
\displaystyle \frac{dy}{dx}-\sin(x+y)=0 \displaystyle \frac{dy}{dx}=\sin(x+y).
O lado direito depende de x+y e não se decompõe em produto de função só de x por função só de y. Logo, não é separável.

Passo 4

Analisando a opção (b):
\displaystyle \frac{dy}{dx}=4y^2-3y+1.
O lado direito depende apenas de y, ou seja, pode ser visto como
\displaystyle f(x)=1 e g(y)=4y^2-3y+1.
Portanto é separável.

Passo 5

Analisando a opção (c):
\displaystyle \frac{ds}{dt}=t\ln\bigl(s^{2t}\bigr)+8t^2.
Use \ln(s^{2t})=2t\ln s, então
\frac{ds}{dt}=2t^2\ln s+8t^2=2t^2\bigl(\ln s+4\bigr).
Isso é produto de f(t)=2t^2 por g(s)=\ln s+4. Logo, é separável.

Passo 6

Analisando a opção (d):
(x y^{2}+3y^{2})\,dy-2x\,dx=0
y^2(x+3)\,dy=2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y^2(x+3)} =\frac{2x}{x+3}\cdot\frac{1}{y^2},
ou seja, produto de f(x)=2x/(x+3) por g(y)=1/y^2. Portanto é separável.

Resposta

b, c e d

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