Um conjunto de funções f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{n} é dito LI (linearmente independentes) se c_{1} f_{1}(x)+c_{2} f_{2}(x)+\cdots+c_{n} f_{n}(x)=0 para todo x, implica que c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
\left\{e^{a x}, e^{b x}\right\} com a \neq b.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado. Temos o conjunto \{e^{a x}, e^{b x}\} com a \neq b. O objetivo é mostrar que essas duas funções são linearmente independentes (LI), ou seja: mostrar que se existem constantes c_{1} e c_{2} tais que
c_{1}e^{a x}+c_{2}e^{b x}=0\quad\text{para todo }x,
então necessariamente c_{1}=c_{2}=0.

Passo 2

Assumir a hipótese de dependência linear e escrever a identidade que segue dela. Suponha que existam constantes c_{1} e c_{2} tais que
c_{1}e^{a x}+c_{2}e^{b x}=0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Essa igualdade é uma identidade em x: vale para todos os valores de x.

Passo 3

Avaliar a identidade em um ponto conveniente (a escolha x=0 é a mais simples). Substituindo x=0 obtemos
c_{1}e^{a\cdot 0}+c_{2}e^{b\cdot 0}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{1}+c_{2}=0.
Explanação rápida: e^{0}=1, por isso a expressão fica c_{1}+c_{2}=0.

Passo 4

Diferenciar a identidade em x e, em seguida, avaliar em x=0. Diferenciando termo a termo (regra: \dfrac{d}{dx}e^{k x}=k e^{k x}) obtemos
c_{1}a e^{a x}+c_{2}b e^{b x}=0\quad\text{para todo }x.
Agora avaliamos em x=0:
c_{1}a + c_{2}b = 0.

Passo 5

Resolver o sistema linear obtido pelas avaliações em x=0\). As duas equações são \[\begin{cases} c_{1}+c_{2}=0,\\[4pt] c_{1}a + c_{2}b = 0. \end{cases}
Da primeira equação segue c_{2}=-c_{1}\]. Substituindo na segunda: \[c_{1}a + (-c_{1})b = c_{1}(a-b)=0.\] Como \(a\neq b, tem-se a-b\neq 0, portanto c_{1}=0. Então c_{2}=-c_{1}=0.]

Passo 6

Conclusão lógica e interpretação didática. Encontramos c_{1}=c_{2}=0 como única solução da identidade inicial. Isso mostra exatamente que não existe combinação linear não trivial que anule as funções em todos os x. Portanto as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções e^{a x} e e^{b x} são linearmente independentes; isto é, c_{1}=c_{2}=0.

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