Um conjunto de funções
é dito LI (linearmente independentes) se
para todo
, implica que
. Mostre que as funções abaixo formam um conjunto LI.
com
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado. Temos o conjunto
com
. O objetivo é mostrar que essas duas funções são linearmente independentes (LI), ou seja: mostrar que se existem constantes
e
tais que
então necessariamente
.
Passo 2
Assumir a hipótese de dependência linear e escrever a identidade que segue dela. Suponha que existam constantes
e
tais que
Essa igualdade é uma identidade em
: vale para todos os valores de
.
Passo 3
Avaliar a identidade em um ponto conveniente (a escolha
é a mais simples). Substituindo
obtemos
Explanação rápida:
, por isso a expressão fica
.
Passo 4
Diferenciar a identidade em
e, em seguida, avaliar em
. Diferenciando termo a termo (regra:
) obtemos
Agora avaliamos em
:
Passo 5
Resolver o sistema linear obtido pelas avaliações em
Da primeira equação segue
, tem-se
, portanto
. Então
.]
Passo 6
Conclusão lógica e interpretação didática. Encontramos
como única solução da identidade inicial. Isso mostra exatamente que não existe combinação linear não trivial que anule as funções em todos os
. Portanto as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes; isto é,
.