Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
y^(4)-16 y=0

Passo 1

A equação diferencial dada é uma equação linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes:
y^(4) - 16y = 0
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico: suponha uma solução da forma y=e^rx e obtenha o polinômio em r.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação diferencial, temos
r^4 e^rx - 16e^rx = 0
e, como e^rxneq0, o polinômio característico é
r^4 - 16 = 0

Passo 3

Resolvendo r^4 - 16 = 0 obtemos
r^4 = 16 Longrightarrow r^2 = 4 ou r^2 = -4
Daí vêm as raízes
r = 2, r = -2, r = 2i, r = -2i

Passo 4

As duas raízes reais r=2 e r=-2 geram soluções e^2x e e^-2x. As raízes complexas conjugadas r=pm2i geram soluções cos(2x) e sin(2x) pelo teorema de Euler. Logo, a solução geral é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + C3 cos(2x) + C4 sin(2x),
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^2x + C2 e^-2x + C3 cos(2x) + C4 sin(2x)

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