Determine os seguintes limites.
lim x +infty(1+1x)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyl(1+1xr)^x
O conteúdo envolve limites de forma exponencial, e vamos usar propriedades da função exponencial e do logaritmo natural para resolver.

Passo 2

Definimos
y = l(1+1xr)^x
e aplicamos o logaritmo natural para “trazer” o expoente para frente:
ln y = x,lnl(1+tfrac1xr)

Passo 3

Note que, ao fazermos xto+infty, temos uma forma indeterminada +inftycdot0. Para usar a regra de L’H^opital, reescrevemos como quociente:
ln y = lnl(1+tfrac1xr)tfrac1x
Aqui o numerador e o denominador tendem a zero, então podemos aplicar L’H^opital.

Passo 4

Calculamos as derivadas de numerador e denominador em rela\c{c}~ao a x:
ddxlnl(1+tfrac1xr) =11+tfrac1xcdotl(-tfrac1x^2r) =-1x^2+x,
ddxl(tfrac1xr) =-1x^2
Pela regra de L’H^opital,
limxtoinftyln y =limxtoinfty -1/(x^2+x)-1/x^2 =limxtoinftyx^2x^2+x =1

Passo 5

Como ln yto1, segue que
y = e^ln y;longrightarrow;e^1 = e

Resposta

limxto+inftyl(1+1xr)^x = e

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