Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
y^prime prime prime-5 y^prime prime+3 y^prime-9 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes
y'''-5y''+3y'-9y=0
O conteúdo aqui é “equação linear de coeficientes constantes”: vamos usar o ansatz y=e^r x para obter a equação característica, resolver suas raízes e montar a combinação linear de exponenciais.

Passo 2

Supondo y=e^r x, temos
y'=r e^r x, y''=r^2 e^r x, y'''=r^3 e^r x
Substituindo na ODE e dividindo por e^r xneq0 obtemos a característica
r^3-5r^2+3r-9=0

Passo 3

Tentamos raízes racionais ( pm1,pm3,pm9) sem sucesso, logo o polinômio não se fatora por raizes inteiras. Isso indica que ele tem uma raiz real irracional e duas raízes complexas conjugadas, obtidas pela fórmula de Cardano (cuja expressão em radicais é muito extensa).

Passo 4

Denotemos por r1in R a única raiz real e por r2,r3in C as duas raízes complexas conjugadas de
r^3-5r^2+3r-9=0
Elas podem ser encontradas numericamente, por exemplo
r1approx4,78, r2,3approx0,11pm1,10,i

Passo 5

Como a multiplicidade de cada raiz é 1, a solução geral é
y(x)=C1e^r1 x+C2e^r2 x+C3e^r3 x,
ou escrevendo a parte complexa em termos de senos e cossenos,
y(x)=C1e^4,78,x+e^0,11,xl(C2cos(1,10,x)+C3sin(1,10,x)r)

Resposta

boxedy(x)=C1e^r1 x+C2e^r2 x+C3e^r3 x,
onde r1,r2,r3 são as raízes (uma real e duas complexas conjugadas) da equação
r^3-5r^2+3r-9=0

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