Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é “equação linear de coeficientes constantes”: vamos usar o ansatz
para obter a equação característica, resolver suas raízes e montar a combinação linear de exponenciais.
Passo 2
Supondo
, temos
Substituindo na ODE e dividindo por
obtemos a característica
Passo 3
Tentamos raízes racionais (
) sem sucesso, logo o polinômio não se fatora por raizes inteiras. Isso indica que ele tem uma raiz real irracional e duas raízes complexas conjugadas, obtidas pela fórmula de Cardano (cuja expressão em radicais é muito extensa).
Passo 4
Denotemos por
a única raiz real e por
as duas raízes complexas conjugadas de
Elas podem ser encontradas numericamente, por exemplo
Passo 5
Como a multiplicidade de cada raiz é 1, a solução geral é
ou escrevendo a parte complexa em termos de senos e cossenos,
Resposta
onde
são as raízes (uma real e duas complexas conjugadas) da equação