Encontre a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
. Analise o comportamento da solução quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem
. Esse tipo de equação pertence ao estudo das Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação no formato padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada de um produto:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando o método de integração por partes ou reconhecendo que isso resulta em uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. O resultado da integral é:
Multiplicando por 5:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação:
Dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Quando
, o termo
tende a zero, então o comportamento da solução é dominado por
, que é uma função periódica oscilando indefinidamente.