Encontre a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem y^prime+y=5 sen(2 x). Analise o comportamento da solução quando x +infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem . Esse tipo de equação pertence ao estudo das Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação no formato padrão:
y' + P(x) y = Q(x)
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx , que é dado por:
mu(x) = e^integral 1 , dx = e^x
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^x y' + e^x y = 5 e^x sin(2x) :
ddx ( e^x y ) = 5 e^x sin(2x)
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada de um produto:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx ( e^x y ) dx = integral 5 e^x sin(2x) dx :
e^x y = integral 5 e^x sin(2x) dx + C
A integração do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral integral e^x sin(2x) dx = e^x5 (2 sin(2x) - cos(2x)) + C usando o método de integração por partes ou reconhecendo que isso resulta em uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. O resultado da integral é:
5 integral e^x sin(2x) dx = e^x (2 sin(2x) - cos(2x)) + C
Multiplicando por 5:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
e^x y = e^x (2 sin(2x) - cos(2x)) + C
Dividimos ambos os lados por y = 2 sin(2x) - cos(2x) + C e^-x para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 2 sin(2x) - cos(2x) + C e^-x
Quando , o termo tende a zero, então o comportamento da solução é dominado por , que é uma função periódica oscilando indefinidamente.

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