Nos problemas de 13 a 18, determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
y^prime prime prime-2 y^prime prime+y^prime=t^3+2 e^t

Passo 1

O enunciado pede para achar uma forma adequada para a solução particular Y(t) da EDO
y''' - 2y'' + y' = t^3 + 2e^t
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo aqui é EDO linear de ordem 3 com termos não-homogêneos polinomial e exponencial, e vamos precisar primeiro analisar a solução homogênea para identificar escolhas de ansatz.

Passo 2

Primeiro, encontramos a equação característica associada à parte homogênea:
r^3 - 2r^2 + r = rigl(r^2 - 2r + 1r) = r(r-1)^2 = 0 
Isso dá raízes r=0 (simples) e r=1 (dupla). Então a solução homogênea é
yh(t) = C1 + C2 e^t + C3 t e^t

Passo 3

Para o termo polinomial t^3, normalmente escolheríamos um polinômio genérico de grau 3:
A t^3 + B t^2 + C t + D.
Mas como r=0 é raiz da característica (logo a constante faz parte de yh), multiplicamos por t para evitar duplicação. Assim:
Y1(t) = tl(A t^3 + B t^2 + C t + Dr) = A t^4 + B t^3 + C t^2 + D t

Passo 4

Para o termo exponencial 2e^t, o ansatz inicial seria E e^t. Porém, r=1 é raiz dupla, logo e^t e t e^t já estão em yh. Precisamos multiplicar por t^2 para fugir da solução homogênea. Logo:
Y2(t) = E t^2 e^t

Passo 5

Por fim, a forma geral da solução particular é a soma dos dois ansatz:
Y(t) = A t^4 + B t^3 + C t^2 + D t + E t^2 e^t
Aqui A,B,C,D,E são constantes a determinar (mas não vamos calcular).

Resposta

Y(t)=A t^4 + B t^3 + C t^2 + D t + E t^2 e^t

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