Nos problemas de 13 a 18, determine uma forma adequada para
se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma forma adequada para a solução particular
da EDO
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo aqui é EDO linear de ordem 3 com termos não-homogêneos polinomial e exponencial, e vamos precisar primeiro analisar a solução homogênea para identificar escolhas de ansatz.
Passo 2
Primeiro, encontramos a equação característica associada à parte homogênea:
Isso dá raízes
(simples) e
(dupla). Então a solução homogênea é
Passo 3
Para o termo polinomial
, normalmente escolheríamos um polinômio genérico de grau 3:
.
Mas como é raiz da característica (logo a constante faz parte de
), multiplicamos por
para evitar duplicação. Assim:
Mas como
Passo 4
Para o termo exponencial
, o ansatz inicial seria
. Porém,
é raiz dupla, logo
e
já estão em
. Precisamos multiplicar por
para fugir da solução homogênea. Logo:
Passo 5
Por fim, a forma geral da solução particular é a soma dos dois ansatz:
Aqui
são constantes a determinar (mas não vamos calcular).