Nos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
y^prime prime prime+4 y^prime=t,
y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado traz a EDO linear de terceira ordem não-homogênea
Temos
y''' + 4y' = t,
com condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=1
O conteúdo aqui é EDOs lineares com coeficientes constantes: vamos achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos
y''' + 4y' = 0
A equação característica é
r^3 + 4r = r(r^2 + 4) = 0,
cujas raízes são
r = 0, r = 2i, r = -2i
Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1 + C2 cos(2t) + C3 sin(2t)

Passo 3

Para a parte particular, como o termo forçante é um polinômio de grau 1, tentamos
yp(t) = At^2 + Bt + C
Então
yp' = 2At + B, yp'' = 2A, yp''' = 0
Substituindo em
y''' + 4y' = t
vem
0 + 4(2At + B) = 8At + 4B = t
Comparando coeficientes, temos
8A = 1 implies A = tfrac18, 4B = 0 implies B = 0
Podemos escolher C=0 pois desaparece na equação. Assim
yp(t) = 18 t^2

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 cos(2t) + C3 sin(2t) + 18 t^2
Calculamos as derivadas para impor as condições iniciais:
y'(t) = -2C2 sin(2t) + 2C3 cos(2t) + 14 t,
y''(t) = -4C2 cos(2t) -4C3 sin(2t) + 14

Passo 5

Impondo as condições em t=0:
y(0)=0 ⇒ C1 + C2 = 0
y’(0)=0 ⇒ 2C3 = 0 ⇒ C3 = 0
y’’(0)=1 ⇒ -4C2 + tfrac14 = 1 ⇒ -4C2 = tfrac34 ⇒ C2 = -tfrac316
Então C1 = -C2 = tfrac316

Passo 6

Substituindo os constantes, obtemos a solução final:
y(t) = 316 - 316 cos(2t) + 18 t^2 = 316l(1 - cos(2t)r) + 18 t^2
Graficamente, é uma parábola aberta (termo t^2/8) modulada por oscilações de amplitude 3/16 e período pi.

Resposta

A solução exata é
y(t) = 316l(1 - cos(2t)r) + 18t^2
Segue um exemplo de código em Python para plotar essa solução:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 10, 400)
y = 3/16*(1 - np.cos(2*t)) + t**2/8
plt.plot(t, y)
plt.xlabel(‘t’)
plt.ylabel(‘y(t)’)
plt.title(‘Solução do PVI’)
plt.grid(True)
plt.show()

Exercícios relacionados