Nos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
,
Passo 1
O enunciado traz a EDO linear de terceira ordem não-homogênea
Temos
com condições iniciais
O conteúdo aqui é EDOs lineares com coeficientes constantes: vamos achar a solução geral como soma da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea resolvemos
A equação característica é
cujas raízes são
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, como o termo forçante é um polinômio de grau 1, tentamos
Então
Substituindo em
vem
Comparando coeficientes, temos
Podemos escolher
pois desaparece na equação. Assim
Passo 4
A solução geral é
Calculamos as derivadas para impor as condições iniciais:
Passo 5
Impondo as condições em
:
y(0)=0 ⇒
y’(0)=0 ⇒
y’’(0)=1 ⇒
Então
Passo 6
Substituindo os constantes, obtemos a solução final:
Graficamente, é uma parábola aberta (termo
) modulada por oscilações de amplitude
e período
.
Resposta
A solução exata é
Segue um exemplo de código em Python para plotar essa solução:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 10, 400)
y = 3/16*(1 - np.cos(2*t)) + t**2/8
y = 3/16*(1 - np.cos(2*t)) + t**2/8
plt.plot(t, y)
plt.xlabel(‘t’)
plt.ylabel(‘y(t)’)
plt.title(‘Solução do PVI’)
plt.grid(True)
plt.show()
plt.xlabel(‘t’)
plt.ylabel(‘y(t)’)
plt.title(‘Solução do PVI’)
plt.grid(True)
plt.show()