Nos problemas de 13 a 18, determine uma forma adequada para Y(t) se for utilizado o método dos coeficientes indeterminados. Não calcule as constantes.
y^(t)-2 y^prime prime+y=e^t+sen t

Passo 1

Temos a EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' + y = e^t + sin t
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados e vamos precisar do polinômio característico para ver possíveis ressonâncias.

Passo 2

Escrevendo o polinômio característico da parte homogênea:
r^2 - 2r + 1 = 0
As raízes são r = 1 (dupla), logo
yh = C1 e^t + C2 , t e^t
Isso indica ressonância de ordem 2 com o termo e^t.

Passo 3

Para o termo e^t no lado direito, normalmente tentaríamos
A e^t
mas, por causa da raiz dupla r=1, precisamos multiplicar por t^2. Assim o palpite é
Y1(t) = A , t^2 e^t.

Passo 4

Para o termo sin t sem ressonância (raízes da homogênea não são pm i), usamos o palpite clássico de seno e cosseno:
Y2(t) = B cos t + C sin t.

Passo 5

A forma completa do particular é a soma dos dois palpites. Portanto, uma forma adequada para Y(t) é
Y(t) = A , t^2 e^t + B cos t + C sin t,
onde A, B e C são constantes a determinar.

Resposta

Y(t) = A , t^2 e^t + B \cos t + C \sin t

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