Resolva a seguinte equação diferencial utilizando o método dos coeficientes a determinar:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^x

Passo 1

O exercício pede para resolver
y'' - 3y' + 2y = e^x
usando o método dos coeficientes a determinar. Esse conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um palpite para a parte particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
y'' - 3y' + 2y = 0
A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0
cujo raízes são r=1 e r=2. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^x + C2 e^2x

Passo 3

Como a forçante é e^x e r=1 é raiz da característica de multiplicidade 1, fazemos o palpite
yp(x) = A x e^x
Precisamos das derivadas de yp. Calculando:
yp' = A(x+1)e^x,
yp'' = A(x+2)e^x

Passo 4

Substituindo na equação original:
yp'' - 3yp' + 2yp = A(x+2)e^x -3A(x+1)e^x +2Ax e^x = -A e^x
Para isso ser igual a e^x, precisamos de -A e^x = e^x, ou seja, A = -1. Logo
yp(x) = -x e^x

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular, logo:
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x - x e^x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^2x - x e^x

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