Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
utilizando explicitamente o método de variação de parâmetros.
- Informação dada: é uma equação linear não homogênea de segunda ordem com termo não homogêneo (lado direito) igual a um polinômio em
. - Resultado esperado: a solução geral
que contém as constantes arbitrárias da solução da equação homogênea.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada e obter uma base de soluções:
- A equação homogênea associada é
- Vamos resolver
. Integrando uma vez obtemos . Integrando novamente obtemos . - Portanto uma base (conjunto fundamental) de soluções da homogênea é
Explicação didática: para uma equação homogênea linear com coeficientes constantes, encontrar as soluções básicas é fazer integrações sucessivas quando as derivadas constantes aparecem; aqui
significa que a derivada segunda é nula, então a função é affine.
Passo 3
Ideia do método de variação de parâmetros e definição das incógnitas auxiliares:
- No método de variação de parâmetros buscamos uma solução particular da forma
onde
e
são funções a determinar (em vez das constantes da solução homogênea).
- Para simplificar as contas e evitar aparecimento de
e nas derivadas, impõe-se a condição auxiliar
- A segunda equação para
e vem ao substituir na equação original e comparar com o termo não homogêneo; isso gera
onde
.
Explicação didática curta: escolhemos duas equações lineares para as duas incógnitas
e
. Essas condições são padrão no método e tornam o sistema resolvível sem envolver segundas derivadas dos
.
Passo 4
Aplicar as fórmulas ao nosso caso concreto com [y_{1}=1) e
:
- Calculamos as derivadas das soluções básicas:
- Escrevemos o sistema linear para
e :
ou seja, substituindo (y_{1},y_{2}] e suas derivadas,
- Da segunda equação obtemos diretamente
- Substituindo na primeira equação encontramos
Comentário didático: aqui o sistema ficou muito simples porque
tem derivada zero; normalmente resolveríamos um sistema 2×2 envolvendo o Wronskiano, mas o raciocínio é equivalente.]
Passo 5
Integrar
e
para obter
e
:
- Integramos
:
Calculemos termo a termo:
Portanto
- Integramos
:
Integrando termo a termo:
Assim
Observação importante e didática: as constantes
e
aqui representam integation constants. No método de variação de parâmetros essas constantes podem ser escolhidas como zero porque termos constantes multiplicando
e
gerariam componentes já presentes na solução homogênea
. Por isso, para construir uma solução particular podemos tomar
.
Passo 6
Construir a solução particular
e verificar:
- Tomando
, temos
- A solução particular é
- Calculemos
explicitamente:
Multiplicando e somando termos:
Somando com
:
Agora combinar coeficientes:
Logo
Verificação curta (para confiança): derivando duas vezes
obtém-se
que é exatamente o lado direito da equação original, portanto
está correto.
Passo 7
Escrever a solução geral da equação diferencial:
- A solução geral é a soma da solução homogênea
com a solução particular . Assim
onde
e
são constantes arbitrárias (vindas da solução homogênea).