Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
y^{\prime \prime}=9 x^{2}+2 x-1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
y'' = 9x^{2}+2x-1,
utilizando explicitamente o método de variação de parâmetros.
  • Informação dada: é uma equação linear não homogênea de segunda ordem com termo não homogêneo (lado direito) igual a um polinômio em x.
  • Resultado esperado: a solução geral y(x) que contém as constantes arbitrárias da solução da equação homogênea.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada e obter uma base de soluções:
  • A equação homogênea associada é
y''=0.
  • Vamos resolver y''=0. Integrando uma vez obtemos y' = C_1. Integrando novamente obtemos y = C_1 x + C_2.
  • Portanto uma base (conjunto fundamental) de soluções da homogênea é
y_{1}(x)=1,\qquad y_{2}(x)=x.
Explicação didática: para uma equação homogênea linear com coeficientes constantes, encontrar as soluções básicas é fazer integrações sucessivas quando as derivadas constantes aparecem; aqui y''=0 significa que a derivada segunda é nula, então a função é affine.

Passo 3

Ideia do método de variação de parâmetros e definição das incógnitas auxiliares:
  • No método de variação de parâmetros buscamos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar (em vez das constantes da solução homogênea).
  • Para simplificar as contas e evitar aparecimento de u_{1}'' e u_{2}'' nas derivadas, impõe-se a condição auxiliar
u_{1}'(x)\,y_{1}(x)+u_{2}'(x)\,y_{2}(x)=0.
  • A segunda equação para u_{1}' e u_{2}' vem ao substituir y_{p} na equação original e comparar com o termo não homogêneo; isso gera
u_{1}'(x)\,y_{1}'(x)+u_{2}'(x)\,y_{2}'(x)=g(x),
onde g(x)=9x^{2}+2x-1.
Explicação didática curta: escolhemos duas equações lineares para as duas incógnitas u_{1}' e u_{2}'. Essas condições são padrão no método e tornam o sistema resolvível sem envolver segundas derivadas dos u.

Passo 4

Aplicar as fórmulas ao nosso caso concreto com [y_{1}=1) e y_{2}=x:
  • Calculamos as derivadas das soluções básicas:
y_{1}'(x)=0,\qquad y_{2}'(x)=1.
  • Escrevemos o sistema linear para u_{1}' e u_{2}':
\begin{cases} u_{1}'(x)\cdot y_{1}(x) + u_{2}'(x)\cdot y_{2}(x) = 0,\\[4pt] u_{1}'(x)\cdot y_{1}'(x) + u_{2}'(x)\cdot y_{2}'(x) = g(x), \end{cases}
ou seja, substituindo (y_{1},y_{2}] e suas derivadas,
\begin{cases} u_{1}'(x)\cdot 1 + u_{2}'(x)\cdot x = 0,\\[4pt] u_{1}'(x)\cdot 0 + u_{2}'(x)\cdot 1 = 9x^{2}+2x-1. \end{cases}
  • Da segunda equação obtemos diretamente
u_{2}'(x)=9x^{2}+2x-1.
  • Substituindo na primeira equação encontramos
u_{1}'(x) = -x\,u_{2}'(x) = -x\bigl(9x^{2}+2x-1\bigr).
Comentário didático: aqui o sistema ficou muito simples porque y_{1}=1 tem derivada zero; normalmente resolveríamos um sistema 2×2 envolvendo o Wronskiano, mas o raciocínio é equivalente.]

Passo 5

Integrar u_{2}' e u_{1}' para obter u_{2} e u_{1}:
  • Integramos u_{2}':
u_{2}(x)=\int \bigl(9x^{2}+2x-1\bigr)\,dx.
Calculemos termo a termo:
\int 9x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{x^{3}}{3}=3x^{3}, \qquad \int 2x\,dx = x^{2}, \qquad \int (-1)\,dx = -x.
Portanto
u_{2}(x)=3x^{3}+x^{2}-x + C_{2}.
  • Integramos u_{1}':
u_{1}'(x) = -x\bigl(9x^{2}+2x-1\bigr)=-(9x^{3}+2x^{2}-x).
Integrando termo a termo:
\int -9x^{3}\,dx = -9\cdot\frac{x^{4}}{4} = -\frac{9}{4}x^{4}, \qquad \int -2x^{2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{3}}{3} = -\frac{2}{3}x^{3}, \qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Assim
u_{1}(x) = -\frac{9}{4}x^{4} -\frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + C_{1}.
Observação importante e didática: as constantes C_{1} e C_{2} aqui representam integation constants. No método de variação de parâmetros essas constantes podem ser escolhidas como zero porque termos constantes multiplicando y_{1} e y_{2} gerariam componentes já presentes na solução homogênea C_1 + C_2 x. Por isso, para construir uma solução particular podemos tomar C_{1}=C_{2}=0.

Passo 6

Construir a solução particular y_{p} e verificar:
  • Tomando C_{1}=C_{2}=0, temos
u_{1}(x) = -\frac{9}{4}x^{4} -\frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2}, \qquad u_{2}(x) = 3x^{3}+x^{2}-x.
  • A solução particular é
y_{p}(x)=u_{1}(x)\,y_{1}(x)+u_{2}(x)\,y_{2}(x)=u_{1}(x)\cdot 1 + u_{2}(x)\cdot x.
  • Calculemos y_{p} explicitamente:
y_{p}(x)=\Bigl(-\frac{9}{4}x^{4} -\frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2}\Bigr) + x\bigl(3x^{3}+x^{2}-x\bigr).
Multiplicando e somando termos:
x\bigl(3x^{3}+x^{2}-x\bigr)=3x^{4}+x^{3}-x^{2}.
Somando com u_{1}:
y_{p}(x)=\Bigl(-\frac{9}{4}x^{4}+3x^{4}\Bigr) + \Bigl(-\frac{2}{3}x^{3}+x^{3}\Bigr) + \Bigl(\frac{1}{2}x^{2}-x^{2}\Bigr).
Agora combinar coeficientes:
-\frac{9}{4}+3 = -\frac{9}{4}+\frac{12}{4}=\frac{3}{4}, \qquad -\frac{2}{3}+1 = \frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}.
Logo
y_{p}(x)=\frac{3}{4}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}.
Verificação curta (para confiança): derivando duas vezes y_{p} obtém-se
y_{p}' = 3x^{3}+x^{2}-x,\qquad y_{p}'' = 9x^{2}+2x-1,
que é exatamente o lado direito da equação original, portanto y_{p} está correto.

Passo 7

Escrever a solução geral da equação diferencial:
  • A solução geral é a soma da solução homogênea y_{h}(x)=C_{1}+C_{2}x com a solução particular y_{p}(x). Assim
y(x) = C_{1} + C_{2}x + \frac{3}{4}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (vindas da solução homogênea).

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+\dfrac{3}{4}x^{4}+\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}x^{2}

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