Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
y^{\prime \prime}-5 y=2 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y''-5y=2e^{2t},
e pede para encontrar a solução geral usando o método de variação de parâmetros.
Informações relevantes que temos:
  • Equação em forma padrão: y''-5y=2e^{2t}.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é g(t)=2e^{2t}.
  • Precisamos obter a solução geral y(t)=y_h(t)+y_p(t), onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
y''-5y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtém-se a equação característica
r^2-5=0.
As raízes são
r=\pm\sqrt{5}.
Logo duas soluções fundamentais independentes são
y_1(t)=e^{\sqrt{5}\,t},\qquad y_2(t)=e^{-\sqrt{5}\,t}.
A solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{\sqrt{5}\,t}+C_2 e^{-\sqrt{5}\,t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora explico o método de variação de parâmetros de forma didática. A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar (em vez de constantes). Para encontrar \(u_1\) e \(u_2\) impõe-se o sistema auxiliar \[\begin{cases} u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0,\\[4pt] u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=g(t), \end{cases}
onde g(t)\] é o termo não-homogêneo da equação escrita na forma \(y''+p(t)y'+q(t)y=g(t). No nosso caso p(t)=0, q(t)=-5 e g(t)=2e^{2t}. Essas duas equações permitem resolver u_1' e u_2'. Em fórmula direta (útil na prática) temos
u_1'(t)=-\frac{g(t)\,y_2(t)}{W(t)},\qquad u_2'(t)=\frac{g(t)\,y_1(t)}{W(t)},
onde W(t) é o Wronskiano das soluções fundamentais:
W(t)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=y_1 y_2'-y_1' y_2.
O Wronskiano indica se y_1,y_2 são linearmente independentes (se W\neq0 podemos aplicar variação de parâmetros).]

Passo 4

Vamos calcular o Wronskiano para y_1(t)=e^{\sqrt{5}t} e y_2(t)=e^{-\sqrt{5}t}. As derivadas são y_1'=\sqrt{5}\,e^{\sqrt{5}t} e y_2'=-\sqrt{5}\,e^{-\sqrt{5}t}. Então
W(t)=e^{\sqrt{5}t}\cdot\big(-\sqrt{5}\,e^{-\sqrt{5}t}\big)-\big(\sqrt{5}\,e^{\sqrt{5}t}\big)\cdot e^{-\sqrt{5}t}.
Simplificando as exponenciais:
W(t)=-\sqrt{5}-\sqrt{5}=-2\sqrt{5}.
Observação: o Wronskiano é constante e diferente de zero, logo as soluções são independentes e podemos aplicar variação de parâmetros.

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas para u_1' e u_2' com g(t)=2e^{2t}:
u_1'(t)=-\frac{g(t)\,y_2(t)}{W(t)}=-\frac{2e^{2t}\cdot e^{-\sqrt{5}t}}{-2\sqrt{5}}
e
u_2'(t)=\frac{g(t)\,y_1(t)}{W(t)}=\frac{2e^{2t}\cdot e^{\sqrt{5}t}}{-2\sqrt{5}}.
Simplificando as constantes e exponenciais em cada expressão obtemos
u_1'(t)=\frac{e^{(2-\sqrt{5})t}}{\sqrt{5}},\qquad u_2'(t)=-\frac{e^{(2+\sqrt{5})t}}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Integramos u_1' e u_2' para obter u_1 e u_2. As integrais são exponenciais simples.
Para u_1:
u_1(t)=\int u_1'(t)\,dt=\int \frac{e^{(2-\sqrt{5})t}}{\sqrt{5}}\,dt =\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{e^{(2-\sqrt{5})t}}{2-\sqrt{5}}+C_1^*.
Para u_2:
u_2(t)=\int u_2'(t)\,dt=\int -\frac{e^{(2+\sqrt{5})t}}{\sqrt{5}}\,dt =-\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{e^{(2+\sqrt{5})t}}{2+\sqrt{5}}+C_2^*.
Observação importante: as constantes de integração C_1^*,C_2^* podem ser colocadas iguais a zero ao construir uma solução particular, porque termos constantes multiplicando y_1 ou y_2 entram na solução homogênea e serão absorvidos por C_1,C_2 da solução geral. Portanto tomamos as antiderivadas sem constantes:
u_1(t)=\frac{e^{(2-\sqrt{5})t}}{\sqrt{5}\,(2-\sqrt{5})},\qquad u_2(t)=-\frac{e^{(2+\sqrt{5})t}}{\sqrt{5}\,(2+\sqrt{5})}.

Passo 7

É conveniente simplificar os fatores 1/(2\pm\sqrt{5}). Note que
(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})=4-5=-1,
portanto
\frac{1}{2-\sqrt{5}=}-(2+\sqrt{5}),\qquad \frac{1}{2+\sqrt{5}=}-(2-\sqrt{5}).
Usando essas igualdades obtemos forma mais compacta:
u_1(t)=-\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\,e^{(2-\sqrt{5})t},\qquad u_2(t)=\frac{2-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\,e^{(2+\sqrt{5})t}.

Passo 8

Construímos a solução particular y_p=u_1y_1+u_2y_2:
y_p(t)=u_1(t)e^{\sqrt{5}t}+u_2(t)e^{-\sqrt{5}t}.
Substituindo u_1,u_2:
y_p(t)=-\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\,e^{(2-\sqrt{5})t}\cdot e^{\sqrt{5}t} +\frac{2-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\,e^{(2+\sqrt{5})t}\cdot e^{-\sqrt{5}t}.
Simplificando os expoentes em cada termo (eles ficam e^{2t} em ambos):
y_p(t)=\left(-\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}+\frac{2-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\right)e^{2t}.
Agora somamos os coeficientes:
-\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}+\frac{2-\sqrt{5}}{\sqrt{5}} =\frac{-2-\sqrt{5}+2-\sqrt{5}}{\sqrt{5}} =\frac{-2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=-2.
Logo
y_p(t)=-2e^{2t}.
(Verificação rápida: y_p''-5y_p = (-8e^{2t})-5(-2e^{2t})=2e^{2t}, confere com o lado direito.)

Passo 9

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 e^{\sqrt{5}\,t}+C_2 e^{-\sqrt{5}\,t}-2e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_1 e^{\sqrt{5}\,t}+C_2 e^{-\sqrt{5}\,t}-2e^{2t}

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