Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros y^{\prime \prime}-5 y=2 e^{2 t}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y''-5y=2e^{2t},
e pede para encontrar a solução geral usando o método de variação de parâmetros.
Informações relevantes que temos:
Equação em forma padrão: y''-5y=2e^{2t}.
O termo não-homogêneo (forçamento) é g(t)=2e^{2t}.
Precisamos obter a solução geral y(t)=y_h(t)+y_p(t), onde y_h é a solução geral da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular obtida por variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
y''-5y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtém-se a equação característica
Agora explico o método de variação de parâmetros de forma didática. A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar (em vez de constantes). Para encontrar \(u_1\) e \(u_2\) impõe-se o sistema auxiliar
\[\begin{cases} u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0,\\[4pt] u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=g(t), \end{cases}
onde g(t)\] é o termo não-homogêneo da equação escrita na forma \(y''+p(t)y'+q(t)y=g(t). No nosso caso p(t)=0, q(t)=-5 e g(t)=2e^{2t}. Essas duas equações permitem resolver u_1' e u_2'. Em fórmula direta (útil na prática) temos
O Wronskiano indica se y_1,y_2 são linearmente independentes (se W\neq0 podemos aplicar variação de parâmetros).]
Passo 4
Vamos calcular o Wronskiano para y_1(t)=e^{\sqrt{5}t} e y_2(t)=e^{-\sqrt{5}t}. As derivadas são y_1'=\sqrt{5}\,e^{\sqrt{5}t} e y_2'=-\sqrt{5}\,e^{-\sqrt{5}t}. Então
Observação importante: as constantes de integração C_1^*,C_2^* podem ser colocadas iguais a zero ao construir uma solução particular, porque termos constantes multiplicando y_1 ou y_2 entram na solução homogênea e serão absorvidos por C_1,C_2 da solução geral. Portanto tomamos as antiderivadas sem constantes: