Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial usando variação de parâmetros.
Dados:
- Equação:
- Não há condições iniciais fornecidas (queremos a solução geral).
- A parte não-homogênea (termo independente) é
.
Passo 2
Primeiro faço a equação homogênea associada para obter a base de soluções:
Procuro soluções da forma
. Isso dá a equação característica
Resolvo:
Para raiz dupla
as duas soluções fundamentais são
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplico variação de parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular na forma
onde
e
são funções a determinar. Para tornar o sistema determinável impõe-se a condição auxiliar
e exige-se também que
com
. Essas duas equações lineares permitem resolver
e
.
Uma forma prática usa o wronskiano
e as fórmulas (para a equação com coeficiente líder 1)
Vou calcular
e depois
,
.
Passo 4
Calculo as derivadas das soluções fundamentais:
O wronskiano é
Passo 5
Agora aplico as fórmulas para
e
com
:
Passo 6
Integro
para obter
. Preciso calcular
Faço separação:
Calculo
por partes (duas etapas ou tabela). Uma integração por partes rápida:
- Seja
. Tomando , dá , .
Mas
por partes é
. Logo
Então
Escolhendo a constante de integração
(qualquer constante será absorvida por
), tomo
Passo 7
Agora integro
:
Então
Calculo
Já usei . Para
faço por partes repetidas ou uso resultado compacto: obtém-se
Já usei
Somando:
Portanto
novamente descartando a constante de integração por estar incluída em
.
Passo 8
Formo a solução particular
. Substituo:
Simplifico termo a termo:
Somando:
Como verificação rápida (útil na prova): calcule
. Com
tem-se
. Então
que confere com o termo não-homogêneo.
Passo 9
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias.