Encontre a solução geral da equação diferencial utilizando o método de variação de parâmetros
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial usando variação de parâmetros.
Dados:
  • Equação: y''-2y'+y = x^{2}+1.
  • Não há condições iniciais fornecidas (queremos a solução geral).
  • A parte não-homogênea (termo independente) é g(x)=x^{2}+1.

Passo 2

Primeiro faço a equação homogênea associada para obter a base de soluções:
y''-2y'+y=0.
Procuro soluções da forma y=e^{rx}. Isso dá a equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Resolvo:
(r-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=1\\ \text{ (raiz dupla)}.
Para raiz dupla r=1 as duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=x e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplico variação de parâmetros. A ideia é procurar uma solução particular na forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Para tornar o sistema determinável impõe-se a condição auxiliar
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
e exige-se também que
u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)=g(x),
com g(x)=x^{2}+1. Essas duas equações lineares permitem resolver u_{1}' e u_{2}'.
Uma forma prática usa o wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix},
e as fórmulas (para a equação com coeficiente líder 1)
u_{1}'=-\dfrac{g(x)\,y_{2}}{W},\qquad u_{2}'=\dfrac{g(x)\,y_{1}}{W}.
Vou calcular W e depois u_{1}', u_{2}'.

Passo 4

Calculo as derivadas das soluções fundamentais:
y_{1}(x)=e^{x}\quad\Rightarrow\quad y_{1}'(x)=e^{x},
y_{2}(x)=x e^{x}\quad\Rightarrow\quad y_{2}'(x)=e^{x}+x e^{x}=(1+x)e^{x}.
O wronskiano é
W(x)=\begin{vmatrix} e^{x} & x e^{x}\\\ e^{x} & (1+x)e^{x}\end{vmatrix} = e^{x}\cdot(1+x)e^{x}-e^{x}\cdot x e^{x}=e^{2x}(1+x-x)=e^{2x}.

Passo 5

Agora aplico as fórmulas para u_{1}' e u_{2}' com g(x)=x^{2}+1:
u_{1}'(x)=-\dfrac{(x^{2}+1)\,y_{2}(x)}{W(x)}=-\dfrac{(x^{2}+1)\,x e^{x}}{e^{2x}}=-(x^{2}+1)x e^{-x},
u_{2}'(x)=\dfrac{(x^{2}+1)\,y_{1}(x)}{W(x)}=\dfrac{(x^{2}+1)\,e^{x}}{e^{2x}}=(x^{2}+1)e^{-x}.

Passo 6

Integro u_{2}' para obter u_{2}. Preciso calcular
u_{2}(x)=\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx.
Faço separação:
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx=\int x^{2}e^{-x}\,dx+\int e^{-x}\,dx.
Calculo \int x^{2}e^{-x}\,dx por partes (duas etapas ou tabela). Uma integração por partes rápida:
  • Seja I_{2}=\int x^{2}e^{-x}\,dx. Tomando u=x^{2}, dv=e^{-x}dx v=-e^{-x}, du=2x dx.
I_{2}=-x^{2}e^{-x}+2\int x e^{-x}\,dx.
Mas \int x e^{-x}\,dx por partes é -x e^{-x}-e^{-x}. Logo
I_{2}=-x^{2}e^{-x}+2\big(-x e^{-x}-e^{-x}\big)=-(x^{2}+2x+2)e^{-x}.
Então
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx=-(x^{2}+2x+2)e^{-x}-e^{-x}=-(x^{2}+2x+3)e^{-x}+C.
Escolhendo a constante de integração C=0 (qualquer constante será absorvida por y_{h}), tomo
u_{2}(x)=-(x^{2}+2x+3)e^{-x}.

Passo 7

Agora integro u_{1}':
u_{1}'(x)=-(x^{3}+x)e^{-x}.
Então
u_{1}(x)=\int -(x^{3}+x)e^{-x}\,dx = -\int (x^{3}+x)e^{-x}\,dx.
Calculo \int (x^{3}+x)e^{-x}\,dx = \int x^{3}e^{-x}\,dx + \int x e^{-x}\,dx.
Já usei \int x e^{-x}\,dx = -(x+1)e^{-x}. Para \int x^{3}e^{-x}\,dx faço por partes repetidas ou uso resultado compacto: obtém-se
\int x^{3}e^{-x}\,dx=-(x^{3}+3x^{2}+6x+6)e^{-x}.
Somando:
\int (x^{3}+x)e^{-x}\,dx=-(x^{3}+3x^{2}+7x+7)e^{-x}.
Portanto
u_{1}(x)=-\big[-(x^{3}+3x^{2}+7x+7)e^{-x}\big]=(x^{3}+3x^{2}+7x+7)e^{-x},
novamente descartando a constante de integração por estar incluída em y_{h}.

Passo 8

Formo a solução particular y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituo:
y_{p}(x)=\big((x^{3}+3x^{2}+7x+7)e^{-x}\big)\cdot e^{x} + \big(-(x^{2}+2x+3)e^{-x}\big)\cdot x e^{x}.
Simplifico termo a termo:
u_{1}y_{1}=x^{3}+3x^{2}+7x+7,
u_{2}y_{2}=-x(x^{2}+2x+3)=-x^{3}-2x^{2}-3x.
Somando:
y_{p}=(x^{3}+3x^{2}+7x+7)+(-x^{3}-2x^{2}-3x)=x^{2}+4x+7.
Como verificação rápida (útil na prova): calcule y_{p}''-2y_{p}'+y_{p}. Com y_{p}=x^{2}+4x+7 tem-se y_{p}'=2x+4,\\ y_{p}''=2. Então
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p}=2-2(2x+4)+(x^{2}+4x+7)=x^{2}+1,
que confere com o termo não-homogêneo.

Passo 9

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+x^{2}+4x+7,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+x^{2}+4x+7

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